与えられた積分と極限を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int \frac{dx}{(5x+3)^2}$ (2) $\int e^{3x} \cos x dx$ (3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx$ (4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt$

はい、承知しました。与えられた画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分と極限を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int \frac{dx}{(5x+3)^2}$

(2) $\int e^{3x} \cos x dx$

(3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt$

2. 解き方の手順

(1)

$u = 5x+3$ と置換すると、$du = 5dx$ より $dx = \frac{1}{5} du$。

$\int \frac{dx}{(5x+3)^2} = \int \frac{1}{u^2} \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{-2} du = \frac{1}{5} \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{5u} + C = -\frac{1}{5(5x+3)} + C = -\frac{1}{25x+15} + C$

したがって、ア = -1, イウ = 25, エオ = 15

(2)

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{3x} \cos x dx$

$u = \cos x, dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = -\sin x dx, v = \frac{1}{3} e^{3x}$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x - \int \frac{1}{3} e^{3x} (-\sin x) dx = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{3} \int e^{3x} \sin x dx$

$u = \sin x, dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = \cos x dx, v = \frac{1}{3} e^{3x}$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cos x dx) = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{9} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} I$

$\frac{10}{9} I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{9} e^{3x} \sin x$

$I = \frac{9}{10} (\frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{9} e^{3x} \sin x) = \frac{1}{10} e^{3x} (3\cos x + \sin x)$

したがって、カキ = 10, グ = 3, ケ = 3

(3)

部分分数分解を行う。

$\frac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$

$x+5 = A(x+2) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $6 = 3A$ より $A=2$

$x=-2$ のとき $3 = -3B$ より $B=-1$

$\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx = \int (\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2}) dx = 2 \ln |x-1| - \ln |x+2| + C = \ln \frac{(x-1)^2}{|x+2|} + C$

したがって、サシ = -1, ス = 2, コ = 2

(4)

ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt = \lim_{x \to 2} \frac{\int_2^x \sqrt{t^2+4} dt}{x-2}$

$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt}{\frac{d}{dx}(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+4}}{1} = \sqrt{2^2+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、セ = 2, ソ = 2

3. 最終的な答え

(1) ア = -1, イウ = 25, エオ = 15

(2) カキ = 10, グ = 3, ケ = 3

(3) サシ = -1, ス = 2, コ = 2

(4) セ = 2, ソ = 2