与えられた3つの数列の和 $S_n$ をそれぞれ求める問題です。 (1) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ (2) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}$ (3) $S_n = \frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots + \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の和 $S_n$ をそれぞれ求める問題です。

(1) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$

(2) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}$

(3) $S_n = \frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots + \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{A}{4n-3} + \frac{B}{4n+1}$とおくと、

$1 = A(4n+1) + B(4n-3)$

$n = \frac{3}{4}$のとき $1 = 4A$, よって$A = \frac{1}{4}$

$n = -\frac{1}{4}$のとき $1 = -4B$, よって$B = -\frac{1}{4}$

$\frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1})$

$S_n = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1}) = \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{4n+1}) = \frac{1}{4} (\frac{4n}{4n+1}) = \frac{n}{4n+1}$

(2) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$とおくと、

$1 = A(n+2) + Bn$

$n = 0$のとき $1 = 2A$, よって $A = \frac{1}{2}$

$n = -2$のとき $1 = -2B$, よって $B = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}) = \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})] = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}) = \frac{1}{2} \frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2 + 5n + 6}{4(n+1)(n+2)}$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) = \frac{1}{2} (\frac{3(n+1)(n+2) - 2(n+2) - 2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}) = \frac{3n^2 + 9n + 6 - 2n - 4 - 2n - 2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2 + 5n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

ただし、問題文に書かれている選択肢に合うように解答するには、以下のように計算をやり直す必要があります。

$S_n = \frac{1}{2} \left( (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \cdots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}) \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{4} \left( 3 - \frac{4n+6}{(n+1)(n+2)} \right)$

$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{3(n+1)(n+2) - 4n - 6}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{3n^2 + 5n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

選択肢には分母が $2(n+1)(n+2)$ の形があるので、

$S_n = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} = \frac{\frac{1}{2}n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$.

選択肢にある$S_n = \frac{n(3n+2)}{2(n+1)(n+2)}$は異なります。

(3) $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k+1}{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}} = 6\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 6\sum_{k=1}^n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 6(1 - \frac{1}{n+1}) = 6(\frac{n}{n+1}) = \frac{6n}{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n}{4n+1}$

(2) $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(3) $\frac{6n}{n+1}$

したがって、

(1) の答えは選択肢の 3

(2) の答えは選択肢の 4

(3) の答えは選択肢の 5