与えられた関数 $y$ を $x$ について微分する問題を解きます。具体的には以下の4つの関数について $\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (4) $y = e^{2x+3} \cos x$ (5) $y = (\sin x)^{\tan x}$ (6) $y = \int_0^{x^2} \frac{1}{t^4+1} dt$ (7) $y = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{t^3+1} dt$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を $x$ について微分する問題を解きます。具体的には以下の4つの関数について $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(4) $y = e^{2x+3} \cos x$

(5) $y = (\sin x)^{\tan x}$

(6) $y = \int_0^{x^2} \frac{1}{t^4+1} dt$

(7) $y = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{t^3+1} dt$

2. 解き方の手順

(4) 積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^{2x+3} \cos x) = \frac{d}{dx} (e^{2x+3}) \cos x + e^{2x+3} \frac{d}{dx} (\cos x)$

$\frac{d}{dx} (e^{2x+3}) = e^{2x+3} \cdot 2 = 2e^{2x+3}$

$\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x+3} \cos x - e^{2x+3} \sin x = e^{2x+3} (2\cos x - \sin x)$

(5) 対数微分法を使います。

$y = (\sin x)^{\tan x}$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \tan x \ln (\sin x)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan x) \ln (\sin x) + \tan x \frac{d}{dx} (\ln (\sin x))$

$\frac{d}{dx} (\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{d}{dx} (\ln (\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} \ln (\sin x) + \tan x \cot x = \frac{1}{\cos^2 x} \ln (\sin x) + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\frac{\ln(\sin x)}{\cos^2 x} + 1) = (\sin x)^{\tan x} (\frac{\ln(\sin x)}{\cos^2 x} + 1)$

(6) 微分積分学の基本定理と合成関数の微分法を使います。

$y = \int_0^{x^2} \frac{1}{t^4+1} dt$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\int_0^{x^2} \frac{1}{t^4+1} dt) = \frac{1}{(x^2)^4+1} \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = \frac{1}{x^8+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^8+1}$

(7) 微分積分学の基本定理と合成関数の微分法を使います。

$y = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{t^3+1} dt$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{t^3+1} dt) = \frac{1}{(\sqrt{x})^3+1} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{1}{x^{3/2}+1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x^{3/2}+1)}$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{2x+3} (2\cos x - \sin x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\tan x} (\frac{\ln(\sin x)}{\cos^2 x} + 1)$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^8+1}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x^{3/2}+1)}$