点$(-1, -3)$から曲線$y = x^2$に引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点$(-1, -3)$から曲線$y = x^2$に引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を$(t, t^2)$とおく。

次に、$y = x^2$を微分すると、$y' = 2x$となる。

したがって、接点$(t, t^2)$における接線の傾きは$2t$である。

よって、接線の方程式は

$y - t^2 = 2t(x - t)$

と表せる。

この接線が点$(-1, -3)$を通るから、

$-3 - t^2 = 2t(-1 - t)$

$-3 - t^2 = -2t - 2t^2$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

$(t + 3)(t - 1) = 0$

$t = -3, 1$

$t = -3$のとき、接点は$(-3, 9)$であり、接線の傾きは$2(-3) = -6$である。

よって、接線の方程式は$y - 9 = -6(x + 3)$となり、

$y = -6x - 18 + 9$

$y = -6x - 9$

$t = 1$のとき、接点は$(1, 1)$であり、接線の傾きは$2(1) = 2$である。

よって、接線の方程式は$y - 1 = 2(x - 1)$となり、

$y = 2x - 2 + 1$

$y = 2x - 1$

3. 最終的な答え

$y = -6x - 9$

$y = 2x - 1$