次の図形の面積を求めます。 (1) 曲線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ で囲まれた図形 (2) 2曲線 $y = x^2 + x$ , $y = x^3 - x$ で囲まれた図形のうち、$y$軸の右側の部分 (3) (2)の図形のうち、$y$軸の左側の部分

## 問題の解答

1. 問題の内容

次の図形の面積を求めます。

(1) 曲線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ で囲まれた図形

(2) 2曲線 $y = x^2 + x$ , $y = x^3 - x$ で囲まれた図形のうち、$y$軸の右側の部分

(3) (2)の図形のうち、$y$軸の左側の部分

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ で囲まれた図形の面積を求めます。

まず、2つのグラフの交点を求めます。

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = -1, 3$

よって、交点の$x$座標は、$x = -1, 3$です。

$-1 \leq x \leq 3$において、$2x + 3 \geq x^2$であるから、面積$S$は、

$S = \int_{-1}^3 (2x + 3 - x^2) dx$

$S = [x^2 + 3x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^3$

$S = (9 + 9 - 9) - (1 - 3 + \frac{1}{3})$

$S = 9 - (-2 + \frac{1}{3})$

$S = 9 + 2 - \frac{1}{3}$

$S = 11 - \frac{1}{3}$

$S = \frac{32}{3}$

(2) 2曲線 $y = x^2 + x$ , $y = x^3 - x$ で囲まれた図形のうち、$y$軸の右側の部分の面積を求めます。

まず、2つのグラフの交点を求めます。

$x^2 + x = x^3 - x$

$x^3 - x^2 - 2x = 0$

$x(x^2 - x - 2) = 0$

$x(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = -1, 0, 2$

$y$軸の右側の部分なので、$0 \leq x \leq 2$を考えます。

$0 \leq x \leq 2$において、$x^2 + x \geq x^3 - x$であるから、面積$S$は、

$S = \int_0^2 (x^2 + x - (x^3 - x)) dx$

$S = \int_0^2 (x^2 + 2x - x^3) dx$

$S = [\frac{1}{3}x^3 + x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^2$

$S = (\frac{8}{3} + 4 - 4) - 0$

$S = \frac{8}{3}$

(3) (2)の図形のうち、$y$軸の左側の部分の面積を求めます。

(2)より、交点の$x$座標は、$x = -1, 0, 2$です。

$y$軸の左側の部分なので、$-1 \leq x \leq 0$を考えます。

$-1 \leq x \leq 0$において、$x^3 - x \geq x^2 + x$であるから、面積$S$は、

$S = \int_{-1}^0 (x^3 - x - (x^2 + x)) dx$

$S = \int_{-1}^0 (x^3 - x^2 - 2x) dx$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2]_{-1}^0$

$S = 0 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1)$

$S = - (\frac{3+4-12}{12})$

$S = - (-\frac{5}{12})$

$S = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{32}{3}$

(2) $\frac{8}{3}$

(3) $\frac{5}{12}$