与えられた3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$ (2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2 - 4}{|x-2|}$ (3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ (ただし、$[x]$はガウス記号を表す)

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2 - 4}{|x-2|}$

(3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ (ただし、$[x]$はガウス記号を表す)

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$

$x$が正の方向から0に近づくとき、$x > 0$なので、$|x| = x$となります。

したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to +0} 1 = 1$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2 - 4}{|x-2|}$

$x$が2に負の方向から近づくとき、$x < 2$なので、$x - 2 < 0$となり、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$となります。

したがって、

$\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2 - 4}{|x-2|} = \lim_{x \to 2-0} \frac{(x-2)(x+2)}{2-x} = \lim_{x \to 2-0} \frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)} = \lim_{x \to 2-0} -(x+2) = -(2+2) = -4$

(3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$

$x$が2に正の方向から近づくとき、$x > 2$なので、$x$は2より少し大きい値をとります。したがって、$2 < x < 3$なので、$[x] = 2$となります。

よって、

$\lim_{x \to 2+0} [x] = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x} = 1$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2 - 4}{|x-2|} = -4$

(3) $\lim_{x \to 2+0} [x] = 2$