与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^k$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^k$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた和を2つの和に分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^k = 2\sum_{k=1}^{n} k3^k - \sum_{k=1}^{n} 3^k$

ここで、2つの和をそれぞれ計算します。

まず、$\sum_{k=1}^{n} 3^k$ は等比数列の和なので、公式を用いると、

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k3^k$ を計算します。

$S = \sum_{k=1}^{n} k3^k = 1\cdot3^1 + 2\cdot3^2 + 3\cdot3^3 + \cdots + n\cdot3^n$ とおきます。

両辺に3をかけると、

$3S = 1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 3\cdot3^4 + \cdots + (n-1)\cdot3^n + n\cdot3^{n+1}$

$S - 3S$ を計算すると、

$-2S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n - n\cdot3^{n+1}$

$-2S = \sum_{k=1}^{n} 3^k - n\cdot3^{n+1} = \frac{3(3^n - 1)}{2} - n\cdot3^{n+1}$

$S = -\frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n - 1)}{2} - n\cdot3^{n+1} \right) = -\frac{3}{4}(3^n - 1) + \frac{n}{2}3^{n+1} = \frac{n}{2}3^{n+1} - \frac{3}{4}3^n + \frac{3}{4}$

$S = \frac{2n3^{n+1} - 3^{n+1} + 3}{4} = \frac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^k = 2\sum_{k=1}^{n} k3^k - \sum_{k=1}^{n} 3^k = 2\left(\frac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}\right) - \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$= \frac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{2} - \frac{3^{n+1} - 3}{2} = \frac{(2n-1)3^{n+1} + 3 - 3^{n+1} + 3}{2}$

$= \frac{(2n-2)3^{n+1} + 6}{2} = (n-1)3^{n+1} + 3$

3. 最終的な答え

$(n-1)3^{n+1} + 3$