与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $y = 10^{3x+2}$ (2) $y = x^3 e^{-x}$ (3) $y = \ln(e^x + e^{-x})$ (4) $y = \log_{10}(3x+2)$ (5) $y = \ln\left(\frac{x-2}{x+2}\right)$ (6) $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $y = 10^{3x+2}$

(2) $y = x^3 e^{-x}$

(3) $y = \ln(e^x + e^{-x})$

(4) $y = \log_{10}(3x+2)$

(5) $y = \ln\left(\frac{x-2}{x+2}\right)$

(6) $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$

2. 解き方の手順

(1) $y = 10^{3x+2}$

合成関数の微分を行います。$u = 3x+2$ とおくと $y = 10^u$。

$\frac{dy}{du} = 10^u \ln(10)$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = 10^u \ln(10) \cdot 3 = 3 \ln(10) 10^{3x+2}$

(2) $y = x^3 e^{-x}$

積の微分法を使います。

$\frac{dy}{dx} = (x^3)' e^{-x} + x^3 (e^{-x})' = 3x^2 e^{-x} + x^3 (-e^{-x}) = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x} = x^2 e^{-x} (3-x)$

(3) $y = \ln(e^x + e^{-x})$

合成関数の微分を行います。$u = e^x + e^{-x}$ とおくと $y = \ln(u)$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{e^x + e^{-x}} (e^x - e^{-x}) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

(4) $y = \log_{10}(3x+2)$

底の変換公式を使って自然対数に変換します。

$y = \frac{\ln(3x+2)}{\ln(10)}$

合成関数の微分を行います。$u = 3x+2$ とおくと $y = \frac{\ln(u)}{\ln(10)}$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{3x+2} \cdot 3 = \frac{3}{\ln(10)(3x+2)}$

(5) $y = \ln\left(\frac{x-2}{x+2}\right)$

対数の性質を使うと $y = \ln(x-2) - \ln(x+2)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{x^2 - 4}$

(6) $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$

合成関数の微分を行います。$u = x + \sqrt{x^2+1}$ とおくと $y = \ln(u)$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3 \ln(10) 10^{3x+2}$

(2) $y' = x^2 e^{-x} (3-x)$

(3) $y' = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

(4) $y' = \frac{3}{\ln(10)(3x+2)}$

(5) $y' = \frac{4}{x^2 - 4}$

(6) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$