問題は、数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k$ を求めるものです。ただし、$f(k) = (k-2) \cdot 3^k$ と定義されており、$f(k+1) - f(k) = (2k-1) \cdot 3^k$ の関係が与えられています。この関係を利用して、和を簡単に計算します。

1. 問題の内容

問題は、数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k$ を求めるものです。ただし、$f(k) = (k-2) \cdot 3^k$ と定義されており、$f(k+1) - f(k) = (2k-1) \cdot 3^k$ の関係が与えられています。この関係を利用して、和を簡単に計算します。

2. 解き方の手順

与えられた関係 $f(k+1) - f(k) = (2k-1) \cdot 3^k$ を利用して、数列の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k = \sum_{k=1}^{n} \{f(k+1) - f(k)\}$

この式は、望遠鏡和（telescoping sum）の形になっています。つまり、隣り合う項が打ち消し合うことで、初項と末項のみが残ります。

$\sum_{k=1}^{n} \{f(k+1) - f(k)\} = f(n+1) - f(1)$

ここで、$f(k) = (k-2) \cdot 3^k$ であるので、

$f(n+1) = (n+1 - 2) \cdot 3^{n+1} = (n-1) \cdot 3^{n+1}$

$f(1) = (1 - 2) \cdot 3^1 = (-1) \cdot 3 = -3$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k = f(n+1) - f(1) = (n-1) \cdot 3^{n+1} - (-3) = (n-1) \cdot 3^{n+1} + 3$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k = (n-1) \cdot 3^{n+1} + 3$