連続する2つの自然数があり、それぞれの2乗の和が、2つの数の積よりも13だけ大きいとき、この2つの自然数を求めます。

## 問24

1. 問題の内容

連続する2つの自然数があり、それぞれの2乗の和が、2つの数の積よりも13だけ大きいとき、この2つの自然数を求めます。

2. 解き方の手順

* 小さい方の自然数を$n$とすると、連続するもう一つの自然数は$n+1$と表されます。

* 2つの数の2乗の和は$n^2 + (n+1)^2$です。

* 2つの数の積は$n(n+1)$です。

* 問題文より、2乗の和は積よりも13大きいので、以下の式が成り立ちます。

$$n^2 + (n+1)^2 = n(n+1) + 13$$

* この式を展開して整理します。

$$n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 13$$

$$2n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 13$$

$$n^2 + n - 12 = 0$$

* 二次方程式を解きます。因数分解を用いると、以下のようになります。

$$(n+4)(n-3) = 0$$

* よって、$n = -4$または$n = 3$となります。

* $n$は自然数であるため、$n = 3$が適切です。

* したがって、2つの自然数は3と4です。

3. 最終的な答え

3と4

## 問25

1. 問題の内容

ある正方形を縦に3cm、横に2cm伸ばして長方形を作ったところ、その面積が20cm²になりました。もとの正方形の一辺の長さを求めます。

2. 解き方の手順

* もとの正方形の一辺の長さを$x$ cmとします。

* 縦に3cm、横に2cm伸ばした長方形の縦の長さは$x+3$ cm、横の長さは$x+2$ cmとなります。

* 長方形の面積は縦の長さと横の長さを掛け合わせたものなので、$(x+3)(x+2)$となります。

* 問題文より、長方形の面積は20cm²なので、以下の式が成り立ちます。

$$(x+3)(x+2) = 20$$

* この式を展開して整理します。

$$x^2 + 5x + 6 = 20$$

$$x^2 + 5x - 14 = 0$$

* 二次方程式を解きます。因数分解を用いると、以下のようになります。

$$(x+7)(x-2) = 0$$

* よって、$x = -7$または$x = 2$となります。

* $x$は長さを表すため、$x = 2$が適切です。

* したがって、もとの正方形の一辺の長さは2cmです。

3. 最終的な答え

2 cm