与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + \dots + (n-1) \cdot 2 + n$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + \dots + (n-1) \cdot 2 + n$

2. 解き方の手順

与えられた数列の和を計算するために、まず $S$ を書き下します。

$S = 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + \dots + (n-1) \cdot 2^1 + n \cdot 2^0$

次に、$S$ に $\frac{1}{2}$ をかけた $\frac{1}{2}S$ を計算します。

$\frac{1}{2}S = 2^{n-2} + 2 \cdot 2^{n-3} + 3 \cdot 2^{n-4} + \dots + (n-1) \cdot 2^0 + n \cdot 2^{-1}$

$S$ から $\frac{1}{2}S$ を引きます。

$S - \frac{1}{2}S = (2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + \dots + (n-1) \cdot 2^1 + n \cdot 2^0) - (2^{n-2} + 2 \cdot 2^{n-3} + 3 \cdot 2^{n-4} + \dots + (n-1) \cdot 2^0 + n \cdot 2^{-1})$

$\frac{1}{2}S = 2^{n-1} + (2-1)2^{n-2} + (3-2)2^{n-3} + \dots + (n-(n-1))2^0 - n \cdot 2^{-1}$

$\frac{1}{2}S = 2^{n-1} + 2^{n-2} + 2^{n-3} + \dots + 2^0 - \frac{n}{2}$

$2^{n-1} + 2^{n-2} + 2^{n-3} + \dots + 2^0$ は等比数列の和なので、

$\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{2^n - 1}{2-1} = 2^n - 1$

したがって、

$\frac{1}{2}S = 2^n - 1 - \frac{n}{2}$

$S = 2(2^n - 1 - \frac{n}{2})$

$S = 2^{n+1} - 2 - n$

3. 最終的な答え

$S = 2^{n+1} - n - 2$