$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1, -4p_1, p_2, p_3, 2p_1 + p_2 + p_3)$ $b = -3p_1 - 2p_2 + 2p_3$ のとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいか？ 提示された解の候補： $x = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , p, q \in \mathbb{R}$

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。

$A = (p_1, -4p_1, p_2, p_3, 2p_1 + p_2 + p_3)$

$b = -3p_1 - 2p_2 + 2p_3$

のとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいか？

提示された解の候補：

$x = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , p, q \in \mathbb{R}$

2. 解き方の手順

まず、$Ax=b$ を満たす $x$ を求めます。$A$ は $5 \times 5$ 行列，$x$ は5次元ベクトル， $b$ は5次元ベクトルである必要があります．

問題に与えられた$A, b$ は正しい次数を持ちません．従って、$A = (p_1, -4p_1, p_2, p_3)$ の間違いでしょう。$A$ は $4 \times 4$ 行列と仮定すると，$x$は4次元ベクトルであり，$b$も4次元ベクトルである必要があります．

$x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$ とすると、$Ax = x_1p_1 - 4x_2p_1 + x_3p_2 + x_4p_3 = b = -3p_1 - 2p_2 + 2p_3$ となります。

$Ax=b$より

$x_1 - 4x_2 = -3$

$x_3 = -2$

$x_4 = 2$

$x_1 = 4x_2 - 3$

$x = (4x_2 - 3, x_2, -2, 2)^T$

$x = (-3, 0, -2, 2)^T + x_2(4, 1, 0, 0)^T$

提示されている解の候補は $x = (-3, -2, 2, 6, -4)^T + p(1, -4, 0, 0, 2)^T + q(0, 0, 1, 0, 1)^T$です。

$p_4$ が存在しないので、この問題の $A$ は $(p_1, -4p_1, p_2, p_3)$ のように４つのベクトルからなります。従って、$A$ は $4 \times 4$ 行列であり、また$b$は4次元ベクトルである必要があります。

この解の候補は次元が合わないので誤りです。

3. 最終的な答え

誤り