$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$は正則行列である。 $A = (p_1 \ 4p_1 \ p_2 \ p_3)$ $b = -3p_1 + 2p_2 + 2p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいか？ $\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , p, q, r \in \mathbb{R}$

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$は正則行列である。

$A = (p_1 \ 4p_1 \ p_2 \ p_3)$

$b = -3p_1 + 2p_2 + 2p_3$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいか？

$\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , p, q, r \in \mathbb{R}$

2. 解き方の手順

まず、与えられたパラメータ表示をベクトルを用いて表現する。

$x = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

次に、$Ax$ を計算する。

$Ax = A \begin{pmatrix} -3+p \\ 4p \\ 2+q \\ 2+r \end{pmatrix} = (-3+p)p_1 + (4p)(4p_1) + (2+q)p_2 + (2+r)p_3$

$Ax = (-3+p+16p)p_1 + (2+q)p_2 + (2+r)p_3$

$Ax = (-3+17p)p_1 + (2+q)p_2 + (2+r)p_3$

$Ax = b$ となるためには、

$(-3+17p)p_1 + (2+q)p_2 + (2+r)p_3 = -3p_1 + 2p_2 + 2p_3$

$p=0, q=0, r=0$ となれば $Ax=b$ が成立する。つまり特殊解は正しい。

次に斉次解を調べる。

$Ax=0$ となる $x$ を求める。

$(-3+17p)p_1 + (2+q)p_2 + (2+r)p_3 = 0$

これが成り立つのは、$p_1, p_2, p_3$ が線形独立なので、それぞれの係数が0となるときである。

$-3+17p = 0 \implies p = \frac{3}{17}$

$2+q=0 \implies q = -2$

$2+r=0 \implies r = -2$

しかし、$x = p\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ で表されるベクトル空間は、 $Ax = 0$ の解空間と一致しない。パラメータ表示が正しくない。

3. 最終的な答え

正しくない