与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の2つの問いに答える。 (1) $\det(A - tE) = 0$ となるような実数 $t$ を全て求める。ただし、$E$ は単位行列である。 (2) (1) で求めた $t$ の各値に対して、連立1次方程式 $(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の2つの問いに答える。

(1) $\det(A - tE) = 0$ となるような実数 $t$ を全て求める。ただし、$E$ は単位行列である。

(2) (1) で求めた $t$ の各値に対して、連立1次方程式 $(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A - tE$ を計算する。

$A - tE = \begin{bmatrix} 5-t & -4 & -2 \\ 6 & -5-t & -2 \\ 3 & -3 & 2-t \end{bmatrix}$

次に、この行列の行列式 $\det(A - tE)$ を計算する。

$\begin{aligned} \det(A - tE) &= (5-t)((-5-t)(2-t) - (-2)(-3)) - (-4)(6(2-t) - (-2)(3)) + (-2)(6(-3) - (3)(-5-t)) \\ &= (5-t)((-10 + 5t - 2t + t^2) - 6) + 4(12 - 6t + 6) - 2(-18 + 15 + 3t) \\ &= (5-t)(t^2 + 3t - 16) + 4(18 - 6t) - 2(-3 + 3t) \\ &= 5t^2 + 15t - 80 - t^3 - 3t^2 + 16t + 72 - 24t + 6 - 6t \\ &= -t^3 + 2t^2 + t - 2 \end{aligned}$

$\det(A - tE) = 0$ となる $t$ を求める。

$-t^3 + 2t^2 + t - 2 = 0$

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

$(t-1)(t^2 - t - 2) = 0$

$(t-1)(t-2)(t+1) = 0$

よって、$t = 1, 2, -1$

(2)

(i) $t = 1$ のとき

$(A - E)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{x} = \mathbf{0}$

$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 3 & -3 & -1 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$x_1 - x_2 = 0$, $x_3 = 0$

$\mathbf{x} = s\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (s は任意の実数)

(ii) $t = 2$ のとき

$(A - 2E)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x} = \mathbf{0}$

$\begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 3 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$x_1 + 2x_3 = 0$, $x_2 + 2x_3 = 0$

$\mathbf{x} = s\begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (s は任意の実数)

(iii) $t = -1$ のとき

$(A + E)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x} = \mathbf{0}$

$\begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$x_1 - 3x_3 = 0$, $x_2 - 4x_3 = 0$

$\mathbf{x} = s\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ (s は任意の実数)

3. 最終的な答え

(1) $t = 1, 2, -1$

(2)

$t=1$ のとき、$\mathbf{x} = s\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (s は任意の実数)

$t=2$ のとき、$\mathbf{x} = s\begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (s は任意の実数)

$t=-1$ のとき、$\mathbf{x} = s\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ (s は任意の実数)