与えられた9つの行列の行列式を計算する問題です。行列のサイズは2x2, 3x3, 4x4など様々です。

はい、承知しました。行列式の計算問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた9つの行列の行列式を計算する問題です。行列のサイズは2x2, 3x3, 4x4など様々です。

2. 解き方の手順

各行列について、以下の手順で行列式を計算します。

(1)

2x2行列の行列式は $ad - bc$ で計算します。

$\begin{vmatrix} 22 & 28 \\ 49 & 64 \end{vmatrix} = (22)(64) - (28)(49) = 1408 - 1372 = 36$

(2)

3x3行列の行列式は、サラスの公式または余因子展開で計算できます。ここではサラスの公式を使います。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} = (1)(5)(9) + (4)(8)(3) + (7)(2)(6) - (7)(5)(3) - (1)(8)(6) - (4)(2)(9) = 45 + 96 + 84 - 105 - 48 - 72 = 0$

(3)

3x3行列の行列式は、サラスの公式または余因子展開で計算できます。ここではサラスの公式を使います。

$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 12 & 0 & 9 \\ -8 & 7 & 6 \end{vmatrix} = (4)(0)(6) + (1)(9)(-8) + (3)(12)(7) - (3)(0)(-8) - (4)(9)(7) - (1)(12)(6) = 0 - 72 + 252 - 0 - 252 - 72 = -144$

(4)

4x4行列の行列式は、余因子展開を使うのが一般的です。1行目で展開します。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} + 4 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$ は (i, j) 成分の余因子です。

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} = -[ (4)(0)(0) + (1)(1)(1) + (3)(3)(4) - (3)(0)(1) - (4)(1)(4) - (1)(3)(0) ] = -[0 + 1 + 36 - 0 - 16 - 0] = -21$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (4)(4)(0) + (0)(1)(1) + (3)(3)(3) - (3)(4)(1) - (4)(1)(3) - (0)(3)(0) = 0 + 0 + 27 - 12 - 12 - 0 = 3$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = -[ (4)(4)(4) + (0)(0)(1) + (1)(3)(3) - (1)(4)(1) - (4)(0)(3) - (0)(3)(4) ] = -[64 + 0 + 9 - 4 - 0 - 0] = -69$

したがって、行列式は $(1)(-21) + (3)(3) + (4)(-69) = -21 + 9 - 276 = -288$

(5)

行列式を計算する前に、行を入れ替えます。1行目と4行目を入れ替え、2行目と3行目を入れ替えます。この操作で符号が2回変わるので、全体としては符号は変わりません。

$\begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

これは上三角行列なので、対角成分の積で計算できます。

$(4)(5)(-3)(3) = -180$

(6)

1行目で余因子展開します。

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 2 & 0 \\ 7 & 0 & -4 & 0 \\ -3 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} = 2 C_{12}$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 7 & -4 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -[ (-1)(-4)(2) + (2)(0)(-3) + (0)(7)(1) - (0)(-4)(-3) - (-1)(0)(1) - (2)(7)(2) ] = -[8 + 0 + 0 - 0 - 0 - 28] = -[-20] = 20$

行列式は $2(20) = 40$

(7)

1行目で余因子展開します。

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14} + 0 \cdot C_{15} = 4 C_{11} + C_{14}$

$C_{11} = \begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -3 [ (0)(0)(2) + (-2)(0)(4) + (3)(2)(0) - (3)(0)(4) - (0)(0)(0) - (-2)(2)(2) ] = -3[0 + 0 + 0 - 0 - 0 + 8] = -24$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} = -1[ 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} -(-3) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} ]= -1[ 2(0+0+36-0-0-0) + 3 (4+0+0-0-0-0) ] = -1(2(36) + 3(4)) = -1(72+12) = -84$

したがって、行列式は $4(-24) + (-84) = -96 - 84 = -180$

(8)

1行目を基準に、2行目から1行目を引き、3行目から1行目を引きます。

$\begin{vmatrix} 101 & 99 & 98 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

1列目で展開します。

$101 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 1 \begin{vmatrix} 99 & 98 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 101(2-(-8)) + 1(396-98) = 101(10) + 298 = 1010+298=1308$

(9)

1行目を基準に、2行目から1/2倍したものを引き、3行目から1/4倍したものを引き、4行目から1/3倍したものを引きます。

$\begin{vmatrix} 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 0 & 1/6 & 5/24 \\ 0 & 1/6 & 7/48 \\ 0 & 5/36 & 13/72 \end{vmatrix}$

$\frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1/6 & 5/24 \\ 1/6 & 7/48 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}(\frac{7}{288}-\frac{5}{144})=\frac{1}{2}(\frac{7-10}{288})=\frac{1}{2}(-\frac{3}{288})=-\frac{1}{192}$

$\begin{vmatrix} 1/6 & 5/24 \\ 5/36 & 13/72 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \frac{1}{6} (\frac{13}{12} - \frac{25}{12} ) = \frac{1}{12} (\frac{-12}{12}) = -\frac{1}{12}$

最終的な答えは、$\frac{1}{2}(\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{48} - \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{24})=\frac{1}{2} (\frac{7}{288} - \frac{5}{144})=\frac{1}{2}\frac{7-10}{288}= \frac{-3}{576}=-\frac{1}{192}$

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 0

(3) -144

(4) -288

(5) -180

(6) 40

(7) -180

(8) 1308

(9) -1/192