与えられた3つの数、$\sqrt[5]{16}$, $\sqrt[6]{32}$, $\sqrt[4]{64}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

与えられた3つの数、$\sqrt[5]{16}$, $\sqrt[6]{32}$, $\sqrt[4]{64}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

これらの数を全て指数表示に変換し、指数部分を揃えることで比較します。

まず、それぞれの数を指数で表します。

$\sqrt[5]{16} = 16^{\frac{1}{5}} = (2^4)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{4}{5}}$

$\sqrt[6]{32} = 32^{\frac{1}{6}} = (2^5)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt[4]{64} = 64^{\frac{1}{4}} = (2^6)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}$

次に、指数部分の分母を揃えるために通分します。5, 6, 2の最小公倍数は30なので、各指数の分母を30にします。

$2^{\frac{4}{5}} = 2^{\frac{24}{30}}$

$2^{\frac{5}{6}} = 2^{\frac{25}{30}}$

$2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{45}{30}}$

指数部分を比較すると、$\frac{24}{30} < \frac{25}{30} < \frac{45}{30}$ であるため、$2^{\frac{24}{30}} < 2^{\frac{25}{30}} < 2^{\frac{45}{30}}$ となります。

したがって、$\sqrt[5]{16} < \sqrt[6]{32} < \sqrt[4]{64}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[5]{16}, \sqrt[6]{32}, \sqrt[4]{64}$