(1) $a, b$ が有理数、$u$ が無理数で、$a + bu = 0$ であるならば、$a = 0$ かつ $b = 0$ であることを証明する。 (2) 次の等式を満たす有理数 $p, q$ の値を求める。 (ア) $(p - 3) + (q + 2)\sqrt{5} = 0$ (イ) $(1 + \sqrt{5})p + (3 - 2\sqrt{5})q = 0$

1. 問題の内容

(1) $a, b$ が有理数、$u$ が無理数で、$a + bu = 0$ であるならば、$a = 0$ かつ $b = 0$ であることを証明する。

(2) 次の等式を満たす有理数 $p, q$ の値を求める。

(ア) $(p - 3) + (q + 2)\sqrt{5} = 0$

(イ) $(1 + \sqrt{5})p + (3 - 2\sqrt{5})q = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a + bu = 0$ において、$b \neq 0$ と仮定する。このとき、$u = -\frac{a}{b}$ となる。$a$ と $b$ は有理数なので、$-\frac{a}{b}$ も有理数となり、$u$ が無理数であるという仮定に矛盾する。したがって、$b = 0$ である。

$b = 0$ を $a + bu = 0$ に代入すると、$a + 0 \cdot u = 0$ となり、$a = 0$ となる。

よって、$a = 0$ かつ $b = 0$ が成り立つ。

(2)(ア) $(p - 3) + (q + 2)\sqrt{5} = 0$

$p - 3$ と $q + 2$ は有理数であり、$\sqrt{5}$ は無理数である。

(1)の結果より、$p - 3 = 0$ かつ $q + 2 = 0$ となる。

したがって、$p = 3$ かつ $q = -2$ である。

(2)(イ) $(1 + \sqrt{5})p + (3 - 2\sqrt{5})q = 0$

$p$ と $q$ は有理数であるから、式を変形する。

$p + p\sqrt{5} + 3q - 2q\sqrt{5} = 0$

$(p + 3q) + (p - 2q)\sqrt{5} = 0$

$p + 3q$ と $p - 2q$ は有理数であり、$\sqrt{5}$ は無理数である。

(1)の結果より、$p + 3q = 0$ かつ $p - 2q = 0$ となる。

$p + 3q = 0$ より、$p = -3q$

これを $p - 2q = 0$ に代入すると、$-3q - 2q = 0$ となり、$-5q = 0$ となる。

したがって、$q = 0$ である。

$q = 0$ を $p = -3q$ に代入すると、$p = -3(0) = 0$ となる。

よって、$p = 0$ かつ $q = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 0$ かつ $b = 0$ であることを証明した。

(2)(ア) $p = 3, q = -2$

(2)(イ) $p = 0, q = 0$