$\sqrt{\frac{1}{2}}$、$\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$、$\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{1}{2}}$、$\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$、$\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

各数を指数で表し、指数を揃えることを考えます。

まず、各数を指数表記にします。

$\sqrt{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = (2^{-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} = (4^{-1})^{\frac{1}{3}} = (2^{-2})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}} = (8^{-1})^{\frac{1}{4}} = (2^{-3})^{\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{3}{4}}$

次に、指数の$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$を通分します。分母の最小公倍数は12なので、

$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

したがって、各数は

$2^{-\frac{6}{12}}$

$2^{-\frac{8}{12}}$

$2^{-\frac{9}{12}}$

ここで、底が2で1より大きく、指数関数 $y = 2^x$ は単調増加であるため、$x$が大きいほど$2^x$も大きくなります。

しかし、指数が負なので、指数の絶対値が大きいほど元の数は小さくなります。

したがって、$2^{-\frac{9}{12}} < 2^{-\frac{8}{12}} < 2^{-\frac{6}{12}}$。

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} < \sqrt[3]{\frac{1}{4}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$