実数 $a, b$ に関する以下の2つの命題を、対偶を考えることによって証明します。 (1) $ab=1 \Rightarrow a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ (2) $a+b=1 \Rightarrow a>0$ または $b>0$

1. 問題の内容

実数 $a, b$ に関する以下の2つの命題を、対偶を考えることによって証明します。

(1) $ab=1 \Rightarrow a \neq 0$ かつ $b \neq 0$

(2) $a+b=1 \Rightarrow a>0$ または $b>0$

2. 解き方の手順

(1) の証明

元の命題は「$ab=1 \Rightarrow a \neq 0$ かつ $b \neq 0$」です。

この対偶は「$a=0$ または $b=0 \Rightarrow ab \neq 1$」です。

$a=0$ のとき、$ab = 0 \cdot b = 0 \neq 1$ となります。

$b=0$ のとき、$ab = a \cdot 0 = 0 \neq 1$ となります。

したがって、$a=0$ または $b=0$ ならば $ab \neq 1$ が成り立ちます。

よって、対偶が真なので、元の命題も真です。

(2) の証明

元の命題は「$a+b=1 \Rightarrow a>0$ または $b>0$」です。

この対偶は「$a \leq 0$ かつ $b \leq 0 \Rightarrow a+b \neq 1$」です。

$a \leq 0$ かつ $b \leq 0$ のとき、$a+b \leq 0$ となります。

したがって、$a+b \leq 0$ より、$a+b \neq 1$ が成り立ちます。

よって、対偶が真なので、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

(1) 対偶「$a=0$ または $b=0 \Rightarrow ab \neq 1$」が真なので、$ab=1 \Rightarrow a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ は真。

(2) 対偶「$a \leq 0$ かつ $b \leq 0 \Rightarrow a+b \neq 1$」が真なので、$a+b=1 \Rightarrow a>0$ または $b>0$ は真。