放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を $x$軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を $x$軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸方向に $p$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。平行移動後の放物線の方程式は、元の放物線の $x$ を $x-p$ で置き換えることで得られる。

したがって、平行移動後の放物線の方程式は

$y = (x-p)^2 - 4(x-p) + 3$

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るということは、$x = 0$、 $y = 0$ を代入したときに式が成り立つということである。

よって、

$0 = (0-p)^2 - 4(0-p) + 3$

$0 = p^2 + 4p + 3$

この $p$ に関する二次方程式を解く。

$(p+1)(p+3) = 0$

$p = -1, -3$

$p = -1$ のとき、放物線の方程式は

$y = (x+1)^2 - 4(x+1) + 3$

$y = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3$

$y = x^2 - 2x$

$p = -3$ のとき、放物線の方程式は

$y = (x+3)^2 - 4(x+3) + 3$

$y = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3$

$y = x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x$ と $y = x^2 + 2x$