300円のケーキAと340円のケーキBを合わせて15個買い、200円の箱に入れる。ケーキ代と箱代の合計金額を5000円以下にして、ケーキBをできるだけ多く買うとき、ケーキAとケーキBをそれぞれ何個買えるか。

1. 問題の内容

300円のケーキAと340円のケーキBを合わせて15個買い、200円の箱に入れる。ケーキ代と箱代の合計金額を5000円以下にして、ケーキBをできるだけ多く買うとき、ケーキAとケーキBをそれぞれ何個買えるか。

2. 解き方の手順

ケーキAの個数を $x$ 個、ケーキBの個数を $y$ 個とする。

合計で15個買うので、

$x + y = 15$

$y = 15 - x$

ケーキ代と箱代の合計金額が5000円以下なので、

$300x + 340y + 200 \le 5000$

上記の式に $y = 15 - x$ を代入する。

$300x + 340(15 - x) + 200 \le 5000$

$300x + 5100 - 340x + 200 \le 5000$

$-40x + 5300 \le 5000$

$-40x \le -300$

$40x \ge 300$

$x \ge \frac{300}{40}$

$x \ge \frac{15}{2}$

$x \ge 7.5$

ケーキAの個数は整数なので、$x$ は8以上の整数となる。

ケーキBをできるだけ多く買うためには、$x$ をできるだけ小さくする必要がある。

よって、$x = 8$ のとき、$y = 15 - 8 = 7$ となる。

このとき、合計金額は、

$300 \times 8 + 340 \times 7 + 200 = 2400 + 2380 + 200 = 4980$ 円となり、5000円以下である。

もし、$x=7$ とすると、$y=8$ となり、合計金額は

$300 \times 7 + 340 \times 8 + 200 = 2100 + 2720 + 200 = 5020$ となり5000円を超えるので条件を満たさない。

$x=8$ の時 $A=8$個、$B=7$個となる。

3. 最終的な答え

ケーキAは8個、ケーキBは7個。