実数 $x$ に関する命題「$x^2 = 1 \implies x = -1$」の真偽を調べ、さらにこの命題の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べます。元の命題が偽である場合は、反例を挙げます。

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する命題「$x^2 = 1 \implies x = -1$」の真偽を調べ、さらにこの命題の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べます。元の命題が偽である場合は、反例を挙げます。

2. 解き方の手順

元の命題: $x^2 = 1 \implies x = -1$

$x^2 = 1$ を満たす $x$ は $x = 1$ または $x = -1$ です。したがって、$x^2 = 1$ であっても $x = -1$ とは限りません。例えば、$x = 1$ が反例です。よって、元の命題は偽です。

逆: $x = -1 \implies x^2 = 1$

$x = -1$ のとき、$x^2 = (-1)^2 = 1$ です。したがって、逆は真です。

対偶: $x \neq -1 \implies x^2 \neq 1$

対偶は、元の命題を否定して仮定と結論を入れ替えたものです。元の命題が偽であることから、対偶も偽となります。例えば、$x = 1$ が反例です。$x \neq -1$ ですが、$x^2 = 1$ となります。

裏: $x^2 \neq 1 \implies x \neq -1$

裏は、元の命題の仮定と結論をそれぞれ否定したものです。対偶が偽であることから、裏も偽となります。例えば、$x = 1$ が反例です。$x^2 \neq 1$ ではない($x^2 = 1$ である)ですが、$x \neq -1$ ではありません($x = -1$ ではない)。

3. 最終的な答え

元の命題: $x^2 = 1 \implies x = -1$ (偽, 反例: $x=1$)

逆: $x = -1 \implies x^2 = 1$ (真)

対偶: $x \neq -1 \implies x^2 \neq 1$ (偽, 反例: $x=1$)

裏: $x^2 \neq 1 \implies x \neq -1$ (偽, 反例: $x^2 = 2, x = \sqrt{2}$ )