円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 4$, $BC = 3$, $CD = 1$, $DA = 2$であるとき、以下のものを求める。 (1) 対角線ACの長さ (2) 四角形ABCDの面積

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 4$, $BC = 3$, $CD = 1$, $DA = 2$であるとき、以下のものを求める。

(1) 対角線ACの長さ

(2) 四角形ABCDの面積

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

三角形ABCにおいて、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos B$

$AC^2 = 16 + 9 - 24 \cos B$

$AC^2 = 25 - 24 \cos B$ (1)

三角形ADCにおいて、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D$

$AC^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos D$

$AC^2 = 4 + 1 - 4 \cos D$

$AC^2 = 5 - 4 \cos D$ (2)

円に内接する四角形の対角の和は180度なので、$B + D = 180^\circ$

よって、$D = 180^\circ - B$

$\cos D = \cos(180^\circ - B) = - \cos B$

(2)式に代入して

$AC^2 = 5 - 4 (-\cos B) = 5 + 4 \cos B$ (3)

(1)式と(3)式より

$25 - 24 \cos B = 5 + 4 \cos B$

$20 = 28 \cos B$

$\cos B = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$

これを(3)式に代入して

$AC^2 = 5 + 4 \cdot \frac{5}{7} = 5 + \frac{20}{7} = \frac{35 + 20}{7} = \frac{55}{7}$

$AC = \sqrt{\frac{55}{7}} = \frac{\sqrt{385}}{7}$

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCの面積と三角形ADCの面積の和である。

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B + \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin D$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$より

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin B = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$\sin D = \sin (180^\circ - B) = \sin B = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$S = \frac{12\sqrt{6}}{7} + \frac{2\sqrt{6}}{7} = \frac{14\sqrt{6}}{7} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さ: $\frac{\sqrt{385}}{7}$

(2) 四角形ABCDの面積: $2\sqrt{6}$