問題10は、与えられた2つの数について、相加平均と相乗平均を求める問題です。 (1) は1と3、(2) は5と5について計算します。 問題11は、多項式 $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ についての問題です。 (1) は、$P(x)$ が与えられた式で割り切れるかどうかを判断する問題です。 (2) は、$P(x)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

問題10は、与えられた2つの数について、相加平均と相乗平均を求める問題です。

(1) は1と3、(2) は5と5について計算します。

問題11は、多項式 $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ についての問題です。

(1) は、$P(x)$ が与えられた式で割り切れるかどうかを判断する問題です。

(2) は、$P(x)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

問題10:

相加平均は、数の合計を個数で割ったものです。

相乗平均は、数の積の平方根（個数が2の場合）です。

(1) 1と3の場合

相加平均: $(1 + 3) / 2 = 2$

相乗平均: $\sqrt{1 \times 3} = \sqrt{3}$

(2) 5と5の場合

相加平均: $(5 + 5) / 2 = 5$

相乗平均: $\sqrt{5 \times 5} = 5$

問題11:

(1) 割り切れるかどうかの判断

多項式 $P(x)$ を式 $x - a$ で割ったときに割り切れるための条件は、$P(a) = 0$ となることです。

ア: $x - 2$ の場合、$P(2) = 2(2)^3 - 7(2)^2 + 10(2) - 6 = 16 - 28 + 20 - 6 = 2$。 よって、割り切れません。

イ: $x + 6$ の場合、$P(-6) = 2(-6)^3 - 7(-6)^2 + 10(-6) - 6 = -432 - 252 - 60 - 6 = -750$。 よって、割り切れません。

ウ: $x - \frac{1}{2}$ の場合、$P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 - 7(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{7}{4} + 5 - 6 = -\frac{6}{4} - 1 = -\frac{3}{2} - 1= -\frac{5}{2}$。よって、割り切れません。

エ: $x - \frac{3}{2}$ の場合、$P(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 - 7(\frac{3}{2})^2 + 10(\frac{3}{2}) - 6 = 2(\frac{27}{8}) - 7(\frac{9}{4}) + 15 - 6 = \frac{27}{4} - \frac{63}{4} + 9 = -\frac{36}{4} + 9 = -9 + 9 = 0$。よって、割り切れます。

(2) 因数分解

$P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ を因数分解します。

(1) の結果から、$x - \frac{3}{2}$ は $P(x)$ の因数であることがわかります。つまり、$2x - 3$ も $P(x)$ の因数です。

$P(x)$ を $2x - 3$ で割ります。

```

x^2 - 2x + 2

2x - 3 | 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6

-(2x^3 - 3x^2)

-----------------

-4x^2 + 10x

-(-4x^2 + 6x)

-----------------

4x - 6

-(4x - 6)

-----------------

0

```

したがって、$P(x) = (2x - 3)(x^2 - 2x + 2)$ となります。

$x^2 - 2x + 2$ は実数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

問題10:

(1) 相加平均: 2, 相乗平均: $\sqrt{3}$

(2) 相加平均: 5, 相乗平均: 5

問題11:

(1) エに〇

(2) $P(x) = (2x - 3)(x^2 - 2x + 2)$