数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。初期条件は $a_1 = 10$ で、漸化式は $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+2}$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。初期条件は $a_1 = 10$ で、漸化式は $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+2}$ です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $2^{n+1}$ で割ることを考えます。

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{3a_n}{2^{n+1}} + \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{3}{2} \frac{a_n}{2^n} + 2$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + 2$

$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + 2$

これは等比数列の形に変形できます。

$b_{n+1} + c = \frac{3}{2}(b_n + c)$

$b_{n+1} = \frac{3}{2}b_n + \frac{3}{2}c - c$

$b_{n+1} = \frac{3}{2}b_n + \frac{1}{2}c$

これより、$\frac{1}{2}c = 2$ なので $c=4$ です。

したがって、

$b_{n+1} + 4 = \frac{3}{2}(b_n + 4)$

数列 $\{b_n + 4\}$ は初項 $b_1 + 4 = \frac{a_1}{2^1} + 4 = \frac{10}{2} + 4 = 5 + 4 = 9$、公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列である。

よって、$b_n + 4 = 9 (\frac{3}{2})^{n-1}$

$b_n = 9(\frac{3}{2})^{n-1} - 4$

$a_n = 2^n b_n = 2^n \left[ 9 (\frac{3}{2})^{n-1} - 4 \right]$

$a_n = 9 \cdot 2^n (\frac{3}{2})^{n-1} - 4 \cdot 2^n$

$a_n = 9 \cdot 2 \cdot 2^{n-1} \cdot \frac{3^{n-1}}{2^{n-1}} - 4 \cdot 2^n$

$a_n = 18 \cdot 3^{n-1} - 4 \cdot 2^n$

$a_n = 18 \cdot 3^{n-1} - 2^{n+2}$

3. 最終的な答え

$a_n = 18 \cdot 3^{n-1} - 2^{n+2}$