数列 $\{a_n\}$ が与えられ、以下の問いに答える。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を組み合わせの記号 $C$ と自然数 $n$ を用いて表す。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。 (3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求める。 (4) 初項が1の数列 $\{b_n\}$ は、階差数列 $\{a_{n+1}\}$ を持つ。初項が1の数列 $\{c_n\}$ は、階差数列 $\{b_{n+1}\}$ を持つ。数列 $\{c_n\}$ の一般項を自然数 $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられ、以下の問いに答える。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を組み合わせの記号 $C$ と自然数 $n$ を用いて表す。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求める。

(4) 初項が1の数列 $\{b_n\}$ は、階差数列 $\{a_{n+1}\}$ を持つ。初項が1の数列 $\{c_n\}$ は、階差数列 $\{b_{n+1}\}$ を持つ。数列 $\{c_n\}$ の一般項を自然数 $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) パスカルの三角形の性質から、数列 $\{a_n\}$ は、$n+2$ 段目の左から2番目の数に対応していると考えられる。したがって、$a_n = {}_{n+1}C_1 = n+1$ である。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k+1) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1) + 2n}{2} = \frac{n(n+3)}{2}$

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n+1}$. これは調和数 $H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ を用いて表すことができる。$S_n = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - 1 = H_{n+1} - 1$。もしくは、$S_n = \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} = H_{n+1}-1$ と表せる。

(4) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列が $\{a_{n+1}\}$ であるから、$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+2) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2 = 1 + \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 1 + \frac{n^2 - n + 4n - 4}{2} = \frac{2 + n^2 + 3n - 4}{2} = \frac{n^2 + 3n - 2}{2}$.

数列 $\{c_n\}$ の階差数列が $\{b_{n+1}\}$ であるから、$c_n = c_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_{k+1} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)^2 + 3(k+1) - 2}{2} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + 2k + 1 + 3k + 3 - 2) = 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + 5k + 2) = 1 + \frac{1}{2} (\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{5(n-1)n}{2} + 2(n-1)) = 1 + \frac{1}{2} \frac{(n-1)n(2n-1 + 15 + 12)}{6} = 1 + \frac{(n-1)n(2n+26)}{12} = 1 + \frac{(n-1)n(n+13)}{6} = \frac{6 + (n-1)n(n+13)}{6} = \frac{6 + n(n^2 + 12n - 13)}{6} = \frac{n^3 + 12n^2 + 12}{6}$.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n+1$

(2) $S_n = \frac{n(n+3)}{2}$

(3) $S_n = H_{n+1} - 1$

(4) $c_n = \frac{n^3+12n^2-13n+6}{6}$