次の2次関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。 (2) $y = -2x^2 + 4x$ 、 定義域 $-2 \le x \le 0$

1. 問題の内容

次の2次関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。

(2) $y = -2x^2 + 4x$ 、 定義域 $-2 \le x \le 0$

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 4x = -2(x^2 - 2x) = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) = -2((x-1)^2 - 1) = -2(x-1)^2 + 2$

したがって、$y = -2(x-1)^2 + 2$ となります。

このグラフは、頂点が$(1, 2)$で、上に凸の放物線です。

次に、定義域 $-2 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標である$x=1$は定義域に含まれていないので、定義域の端点の値を調べます。

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2-1)^2 + 2 = -2(9) + 2 = -18 + 2 = -16$

$x = 0$ のとき、$y = -2(0-1)^2 + 2 = -2(1) + 2 = -2 + 2 = 0$

定義域 $-2 \le x \le 0$ では、$x = 0$ のとき最大値 $0$ をとり、$x = -2$ のとき最小値 $-16$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値：$0$ ($x = 0$のとき)

最小値：$-16$ ($x = -2$のとき)