1の4乗根を求める。つまり、$z^4 = 1$ を満たす複素数 $z$ をすべて求める。

1. 問題の内容

1の4乗根を求める。つまり、$z^4 = 1$ を満たす複素数 $z$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

$z$ を複素数とすると、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表せる（極形式）。

$z^4 = r^4(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)$ となる。

$z^4 = 1$ なので、$r^4(\cos 4\theta + i\sin 4\theta) = 1 = 1 + 0i = 1(\cos 0 + i\sin 0)$

両辺の絶対値を比較すると、$r^4 = 1$。$r$ は正の実数なので、$r = 1$。

両辺の偏角を比較すると、$4\theta = 0 + 2k\pi$ （$k$は整数）。

したがって、$\theta = \frac{k\pi}{2}$。

$k = 0, 1, 2, 3$ に対して、異なる解が得られる。

$k = 0$ のとき、$\theta = 0$ なので、$z = \cos 0 + i\sin 0 = 1$。

$k = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$ なので、$z = \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2} = i$。

$k = 2$ のとき、$\theta = \pi$ なので、$z = \cos \pi + i\sin \pi = -1$。

$k = 3$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ なので、$z = \cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2} = -i$。

$k = 4$ 以降は、$k = 0, 1, 2, 3$ のいずれかと一致する。

3. 最終的な答え

1の4乗根は、$1, i, -1, -i$ である。