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画像には2つの公式の証明が記載されています。 (4) $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{1}{2} n(n+1) \right]^2$ (5) $\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1)$ 公式(4)は1からnまでの3乗の和を求める公式、公式(5)は初項1の等比数列の和を求める公式です。

代数学数列等比数列シグマ数学的帰納法
2025/6/30

1. 問題の内容

画像には2つの公式の証明が記載されています。
(4) ∑k=1nk3=[12n(n+1)]2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{1}{2} n(n+1) \right]^2
(5) ∑k=1nrk−1=1−rn1−r(r≠1)\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1)
公式(4)は1からnまでの3乗の和を求める公式、公式(5)は初項1の等比数列の和を求める公式です。

2. 解き方の手順

**公式(4)の証明**
(k+1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 という恒等式を利用します。この式を変形すると、(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1となります。
この両辺について、k=1からnまで和を取ります。
∑k=1n[(k+1)4−k4]=∑k=1n(4k3+6k2+4k+1)\sum_{k=1}^{n} [(k+1)^4 - k^4] = \sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1)
左辺はtelescoping sum となり、(n+1)4−1(n+1)^4 - 1 になります。
右辺は、∑\sumの線形性より、以下のようになります。
4∑k=1nk3+6∑k=1nk2+4∑k=1nk+∑k=1n14\sum_{k=1}^{n} k^3 + 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1
したがって、以下の式が得られます。
(n+1)4−1=4∑k=1nk3+6∑k=1nk2+4∑k=1nk+n(n+1)^4 - 1 = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + n
∑k=1nk3\sum_{k=1}^{n} k^3 について解くと、
∑k=1nk3=14[(n+1)4−1−6∑k=1nk2−4∑k=1nk−n]\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} \left[ (n+1)^4 - 1 - 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k - n \right]
ここで、∑k=1nk2=16n(n+1)(2n+1)\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) と ∑k=1nk=12n(n+1)\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1) を代入します。
∑k=1nk3=14[(n+1)4−1−6⋅16n(n+1)(2n+1)−4⋅12n(n+1)−n]\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} \left[ (n+1)^4 - 1 - 6 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) - n \right]
∑k=1nk3=14[(n+1)4−1−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n]\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} \left[ (n+1)^4 - 1 - n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - n \right]
∑k=1nk3=14(n+1)[(n+1)3−n(2n+1)−2n−1]\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} (n+1) \left[ (n+1)^3 - n(2n+1) - 2n - 1 \right]
∑k=1nk3=14(n+1)[n3+3n2+3n+1−2n2−n−2n−1]\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} (n+1) \left[ n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 2n^2 - n - 2n - 1 \right]
∑k=1nk3=14(n+1)[n3+n2]\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} (n+1) \left[ n^3 + n^2 \right]
∑k=1nk3=14(n+1)n2(n+1)=14n2(n+1)2=[12n(n+1)]2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} (n+1) n^2 (n+1) = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 = \left[ \frac{1}{2} n(n+1) \right]^2
**公式(5)の証明**
Sn=a+ar+ar2+...+arn−2+arn−1S_n = a + ar + ar^2 + ... + ar^{n-2} + ar^{n-1}
両辺に公比 r をかけると、
rSn=ar+ar2+...+arn−1+arnrS_n = ar + ar^2 + ... + ar^{n-1} + ar^n
上の2つの式を引き算すると、
(1−r)Sn=a−arn(1-r)S_n = a - ar^n
r≠1r \neq 1 ならば、 Sn=a−arn1−r=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a - ar^n}{1 - r} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
初項 a=1 のとき、Sn=1−rn1−rS_n = \frac{1-r^n}{1-r}

3. 最終的な答え

公式(4): ∑k=1nk3=[12n(n+1)]2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{1}{2} n(n+1) \right]^2
公式(5): ∑k=1nrk−1=1−rn1−r(r≠1)\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1)

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