与えられた2つの直線 $l_1: (a-1)(x+1) - (a+1)y = 0$ と $l_2: ax - y - 1 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 直線 $l_1$ が $a$ の値によらず通る定点の座標を求めます。 (2) $a$ が実数全体を動くとき、直線 $l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの直線 $l_1: (a-1)(x+1) - (a+1)y = 0$ と $l_2: ax - y - 1 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 直線 $l_1$ が $a$ の値によらず通る定点の座標を求めます。

(2) $a$ が実数全体を動くとき、直線 $l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l_1$ の式を $a$ について整理します。

$(a-1)(x+1) - (a+1)y = 0$

$a(x+1) - (x+1) - ay - y = 0$

$a(x+1-y) - (x+1+y) = 0$

これが任意の $a$ に対して成り立つためには、

$x+1-y = 0$ かつ $x+1+y = 0$ である必要があります。

これら2つの式を連立させて解きます。

$x+1-y = 0$

$x+1+y = 0$

2つの式を足すと、

$2(x+1) = 0$

$x+1 = 0$

$x = -1$

$x = -1$ を $x+1-y=0$ に代入すると、

$-1+1-y = 0$

$y = 0$

したがって、定点の座標は $(-1, 0)$ です。

(2) 直線 $l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めます。

$l_1: (a-1)(x+1) - (a+1)y = 0$

$l_2: ax - y - 1 = 0$

$l_1$ より、 $a(x+1-y) - (x+1+y) = 0$ なので、

$a = \frac{x+1+y}{x+1-y}$ （ただし、$x+1-y \neq 0$）

これを $l_2$ に代入すると、

$(\frac{x+1+y}{x+1-y})x - y - 1 = 0$

$(x+1+y)x - (y+1)(x+1-y) = 0$

$x^2 + x + xy - (xy + x - y^2 + y + x + 1 - y) = 0$

$x^2 + x + xy - xy - x + y^2 - y - x - 1 + y = 0$

$x^2 - x + y^2 - 1 = 0$

$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 = 1 + \frac{1}{4}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{5}{4}$

これは中心 $(\frac{1}{2}, 0)$, 半径 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ の円です。

ただし、$x+1-y = 0$ のとき、 $a$ が定まらないので、$l_1$ と $l_2$ は交点を持ちません。

$y = x+1$ を $(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{5}{4}$ に代入すると、

$(x - \frac{1}{2})^2 + (x+1)^2 = \frac{5}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} + x^2 + 2x + 1 = \frac{5}{4}$

$2x^2 + x + \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$

$2x^2 + x = 0$

$x(2x+1) = 0$

$x = 0, -\frac{1}{2}$

$x=0$ のとき $y=1$、 $x=-\frac{1}{2}$ のとき $y=\frac{1}{2}$

$(0,1)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ は円上の点です。

$l_2$ に代入すると、

$ax-y-1 = 0$ より、 $a\cdot0 - 1 - 1 = 0$ （矛盾）

$a(-\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} - 1 = 0$

$-\frac{1}{2}a = \frac{3}{2}$

$a = -3$

したがって、軌跡は円 $(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{5}{4}$ ただし、$(0,1)$を除く。

3. 最終的な答え

(1) 定点の座標: $(-1, 0)$

(2) 交点の軌跡: $(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{5}{4}$ ただし、$(0,1)$ を除く。