2つの直線 $4x+3y+12=0$ と $3x-4y+6=0$ のなす角の二等分線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $4x+3y+12=0$ と $3x-4y+6=0$ のなす角の二等分線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

角の二等分線上の点は、2つの直線からの距離が等しいという性質を利用します。

二等分線上の任意の点 $(x, y)$ からそれぞれの直線までの距離を求め、それらが等しいとおいて方程式を立てます。

点 $(x, y)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離 $d$ は、次の式で与えられます。

$d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

点 $(x, y)$ から直線 $4x + 3y + 12 = 0$ までの距離 $d_1$ は、

$d_1 = \frac{|4x + 3y + 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4x + 3y + 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|4x + 3y + 12|}{5}$

点 $(x, y)$ から直線 $3x - 4y + 6 = 0$ までの距離 $d_2$ は、

$d_2 = \frac{|3x - 4y + 6|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x - 4y + 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|3x - 4y + 6|}{5}$

$d_1 = d_2$ より、

$\frac{|4x + 3y + 12|}{5} = \frac{|3x - 4y + 6|}{5}$

$|4x + 3y + 12| = |3x - 4y + 6|$

絶対値を外すと、次の2つの場合が考えられます。

(i) $4x + 3y + 12 = 3x - 4y + 6$

$x + 7y + 6 = 0$

(ii) $4x + 3y + 12 = -(3x - 4y + 6)$

$4x + 3y + 12 = -3x + 4y - 6$

$7x - y + 18 = 0$

したがって、求める二等分線の方程式は、

$x + 7y + 6 = 0$ と $7x - y + 18 = 0$ です。

3. 最終的な答え

$x + 7y + 6 = 0$

$7x - y + 18 = 0$