三角形ABCにおいて、AB=8, BC=5, CA=7とする。 (1) $\cos \angle ACB$を求めよ。 (2) $\sin \angle ACB$を求めよ。 (3) $\triangle ABC$の面積Sを求めよ。 (4) $\triangle ABC$の内接円の半径rを求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=8, BC=5, CA=7とする。

(1) $\cos \angle ACB$を求めよ。

(2) $\sin \angle ACB$を求めよ。

(3) $\triangle ABC$の面積Sを求めよ。

(4) $\triangle ABC$の内接円の半径rを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle ACB$を求める。

余弦定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos \angle ACB$

$8^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos \angle ACB$

$64 = 25 + 49 - 70 \cos \angle ACB$

$70 \cos \angle ACB = 25 + 49 - 64 = 10$

$\cos \angle ACB = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

(2) $\sin \angle ACB$を求める。

$\sin^2 \angle ACB + \cos^2 \angle ACB = 1$

$\sin^2 \angle ACB = 1 - \cos^2 \angle ACB = 1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\sin \angle ACB = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

$\angle ACB$は三角形の内角なので、$\sin \angle ACB > 0$である。

(3) $\triangle ABC$の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CA \cdot \sin \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$

(4) $\triangle ABC$の内接円の半径rを求める。

$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(8 + 5 + 7)$

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(20)$

$10\sqrt{3} = 10r$

$r = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle ACB = \frac{1}{7}$

(2) $\sin \angle ACB = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

(3) $\triangle ABC$の面積S = $10\sqrt{3}$

(4) $\triangle ABC$の内接円の半径r = $\sqrt{3}$