次の2つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$ (2) $\int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$

(2) $\int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$ の場合:

被積分関数を部分分数分解することを試みますが、少し工夫が必要です。

まず、被積分関数を変形します。

$\frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1}{\sin x (1 + \cos x)} + \frac{1}{1 + \cos x}$

ここで、$\frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = \frac{1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} = \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$

元の積分は、

$\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx = \int (\frac{1}{\sin x(1 + \cos x)} + \frac{1}{1 + \cos x}) dx = \int (\frac{1}{\sin x(1 + \cos x)} + \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x}) dx$

$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$, $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, $dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$ ($t = \tan \frac{x}{2}$)を用いて計算します。

または、

$\frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x}$

$\frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{(1 + \sin x)(1 - \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{1 - \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{\sin^2 x}$

もう少し単純化します。

$\frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{A}{\sin x} + \frac{B}{1 + \cos x}$と部分分数分解を試みます。

$1 + \sin x = A(1 + \cos x) + B \sin x$

$x = \frac{\pi}{2}$のとき，$2 = A + B$

$x = 0$のとき，$1 = 2A$, $A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx = \int (\frac{1}{2 \sin x} + \frac{3}{2 (1 + \cos x)}) dx$

$= \frac{1}{2} \int \csc x dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + \cos x} dx$

$= \frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| + \frac{3}{2} \int \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x} dx$

$= \frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| + \frac{3}{2} \int (\csc^2 x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}) dx$

$= \frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| + \frac{3}{2} (-\cot x + \csc x) + C$

$= \frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| - \frac{3}{2} \cot x + \frac{3}{2} \csc x + C$

(2) $\int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx$ の場合:

これは部分分数分解を試みても上手くいかないかもしれません。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| - \frac{3}{2} \cot x + \frac{3}{2} \csc x + C$

(2) 解けませんでした。