1から$n$までの番号が書かれた$n$枚のカードが入った箱がある。ただし、$n \ge 2$は自然数とする。 (1) その箱から同時に2枚取り出すとき、書かれた番号の和が$n$以下となる確率を求めよ。 (2) その箱から1枚取り出し、それを箱に戻してから、もう一度1枚取り出すとき、書かれた番号の和が$n$以下となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

1から$n$までの番号が書かれた$n$枚のカードが入った箱がある。ただし、$n \ge 2$は自然数とする。

(1) その箱から同時に2枚取り出すとき、書かれた番号の和が$n$以下となる確率を求めよ。

(2) その箱から1枚取り出し、それを箱に戻してから、もう一度1枚取り出すとき、書かれた番号の和が$n$以下となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

全事象は、$n$枚のカードから2枚を同時に取り出す組み合わせの数なので、$_nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$通り。

事象の和が$n$以下となる組み合わせを考える。

取り出す2枚のカードの番号を$i, j$（ただし$i<j$）とすると、$i + j \le n$となる。

$i=1$のとき、$j$は$2$から$n-1$までとれる。$j \le n - i$より、$j$は$2$から$n-1$までの$n-i$まで、$n-i$個とれる。ただし、$i < j$である必要があるから、$n-1$個。

$i=2$のとき、$j$は$3$から$n-2$までとれる。$j \le n - 2$より、$j$は$3$から$n-2$までの$n - 2 - 2 + 1 = n-3 + 1 = n - i - 1 + 1 = n -3$個とれる。

...

$i$の最大値は、$n - i \ge i + 1$より、$2i + 1 \le n$, $2i \le n - 1$, $i \le \frac{n-1}{2}$。

最大の$i$を$k$とすると、$i + j \le n$, $i < j$なので、$i$が取りうる最大の整数$k = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$の場合を考える。

$i = k$のとき、$j \le n - k$より、$j = k+1, k+2, \dots, n-k$となる。$j$の個数は$n - k - k = n - 2k$個。

場合の数を計算する。

$i + j \le n$となる組$(i, j)$の数を求める。$i < j$とする。

$i = 1$のとき、$j$は$2, 3, \dots, n-1$の$n-2$個。

$i = 2$のとき、$j$は$3, 4, \dots, n-2$の$n-4$個。

$i = 3$のとき、$j$は$4, 5, \dots, n-3$の$n-6$個。

...

$i = k$のとき、$j$は$k+1, k+2, \dots, n-k$の$n-2k$個。

$n$が偶数のとき、$n = 2k$、$k = \frac{n}{2}$より、$i \le k - \frac{1}{2}$なので、$i = k-1$のとき、$n - 2(k-1) = n - 2(\frac{n}{2}-1) = n - n + 2 = 2$個。

$n$が奇数のとき、$n = 2k+1$、$k = \frac{n-1}{2}$より、$n - 2k = n - 2(\frac{n-1}{2}) = n - n + 1 = 1$個。

求める確率は$\frac{\sum_{i=1}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (n-2i)}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2 \sum_{i=1}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (n-2i)}{n(n-1)}$。

$\sum_{i=1}^{k} (n-2i) = \sum_{i=1}^{k} n - 2 \sum_{i=1}^{k} i = nk - 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = nk - k(k+1) = k(n-k-1)$。

したがって、$k = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$のとき、求める確率は$\frac{2k(n-k-1)}{n(n-1)}$。

$n$が偶数のとき、$k = \frac{n-2}{2}$なので、確率は$\frac{2(\frac{n-2}{2})(n - \frac{n-2}{2} - 1)}{n(n-1)} = \frac{(n-2)(\frac{2n - n + 2 - 2}{2})}{n(n-1)} = \frac{(n-2)(\frac{n}{2})}{n(n-1)} = \frac{n-2}{2(n-1)}$。

$n$が奇数のとき、$k = \frac{n-1}{2}$なので、確率は$\frac{2(\frac{n-1}{2})(n - \frac{n-1}{2} - 1)}{n(n-1)} = \frac{(n-1)(\frac{2n - n + 1 - 2}{2})}{n(n-1)} = \frac{(n-1)(\frac{n-1}{2})}{n(n-1)} = \frac{n-1}{2n}$。

(2)

全事象は$n \times n = n^2$通り。

取り出す2枚のカードの番号を$i, j$とすると、$i + j \le n$となる。

$i=1$のとき、$j$は$1$から$n-1$まで、$n-1$個とれる。

$i=2$のとき、$j$は$1$から$n-2$まで、$n-2$個とれる。

...

$i=n-1$のとき、$j$は$1$から$1$まで、$1$個とれる。

$i=n$のとき、$i + j \le n$を満たす$j$はないので、$0$個。

場合の数は$\sum_{i=1}^{n-1} (n-i) = \sum_{i=1}^{n-1} n - \sum_{i=1}^{n-1} i = n(n-1) - \frac{(n-1)n}{2} = \frac{2n(n-1) - n(n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$。

求める確率は$\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n^2} = \frac{n(n-1)}{2n^2} = \frac{n-1}{2n}$。

3. 最終的な答え

(1) $n$が偶数のとき$\frac{n-2}{2(n-1)}$、$n$が奇数のとき$\frac{n-1}{2n}$

(2) $\frac{n-1}{2n}$