確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} cx(4-x) & (0 \le x \le 4) \\ 0 & (x < 0, 4 < x) \end{cases}$ ここで、$c$ は定数です。 (1) $c$ の値を求めます。 (2) $X$ の平均 $E(X) = \int_0^4 xf(x) dx$ を求めます。また、$E(X^2) = \int_0^4 x^2f(x) dx$ を求めます。 (3) $X$ の分散 $V(X) = \int_0^4 (x-E(X))^2 f(x) dx$ を $E(X)$ と $E(X^2)$ を用いて表し、 $V(X)$ の値を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} cx(4-x) & (0 \le x \le 4) \\ 0 & (x < 0, 4 < x) \end{cases}$

ここで、$c$ は定数です。

(1) $c$ の値を求めます。

(2) $X$ の平均 $E(X) = \int_0^4 xf(x) dx$ を求めます。また、$E(X^2) = \int_0^4 x^2f(x) dx$ を求めます。

(3) $X$ の分散 $V(X) = \int_0^4 (x-E(X))^2 f(x) dx$ を $E(X)$ と $E(X^2)$ を用いて表し、 $V(X)$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 確率密度関数の定義から、$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ が成り立ちます。したがって、

$\int_0^4 cx(4-x) dx = 1$

$c \int_0^4 (4x - x^2) dx = 1$

$c \left[ 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^4 = 1$

$c \left( 2(4^2) - \frac{1}{3}(4^3) \right) = 1$

$c \left( 32 - \frac{64}{3} \right) = 1$

$c \left( \frac{96 - 64}{3} \right) = 1$

$c \left( \frac{32}{3} \right) = 1$

$c = \frac{3}{32}$

(2) $E(X) = \int_0^4 xf(x) dx = \int_0^4 x \cdot \frac{3}{32} x(4-x) dx = \frac{3}{32} \int_0^4 (4x^2 - x^3) dx$

$E(X) = \frac{3}{32} \left[ \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^4 = \frac{3}{32} \left( \frac{4}{3}(4^3) - \frac{1}{4}(4^4) \right)$

$E(X) = \frac{3}{32} \left( \frac{256}{3} - 64 \right) = \frac{3}{32} \left( \frac{256 - 192}{3} \right) = \frac{3}{32} \cdot \frac{64}{3} = 2$

$E(X^2) = \int_0^4 x^2f(x) dx = \int_0^4 x^2 \cdot \frac{3}{32} x(4-x) dx = \frac{3}{32} \int_0^4 (4x^3 - x^4) dx$

$E(X^2) = \frac{3}{32} \left[ x^4 - \frac{1}{5}x^5 \right]_0^4 = \frac{3}{32} \left( 4^4 - \frac{1}{5}(4^5) \right)$

$E(X^2) = \frac{3}{32} \left( 256 - \frac{1024}{5} \right) = \frac{3}{32} \left( \frac{1280 - 1024}{5} \right) = \frac{3}{32} \cdot \frac{256}{5} = \frac{24}{5}$

(3) $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$V(X) = \frac{24}{5} - 2^2 = \frac{24}{5} - 4 = \frac{24 - 20}{5} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{3}{32}$

(2) $E(X) = 2$, $E(X^2) = \frac{24}{5}$

(3) $V(X) = \frac{4}{5}$