赤色の玉が6個、黒色の玉が2個、透明な玉が1個、合計9個の玉がある。 (1) これらを1列に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらを円形に並べる方法は何通りあるか。 (3) これらの玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、順に解いていきます。

1. 問題の内容

赤色の玉が6個、黒色の玉が2個、透明な玉が1個、合計9個の玉がある。

(1) これらを1列に並べる方法は何通りあるか。

(2) これらを円形に並べる方法は何通りあるか。

(3) これらの玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 1列に並べる場合

これは同じものを含む順列の問題です。9個の玉を並べる順列の総数は9!ですが、同じ色の玉の並べ替えは区別できないので、赤色の玉6個の並べ替え6!と黒色の玉2個の並べ替え2!で割る必要があります。

したがって、1列に並べる方法の数は

$\frac{9!}{6!2!}$

$=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6! \times 2 \times 1}$

$=9 \times 4 \times 7 = 36 \times 7=252$通りです。

(2) 円形に並べる場合

円順列の考え方を使います。まず、(1)で求めた1列に並べる総数を考え、9で割ると円順列の総数が出ると思いがちですが、同じものを含む順列の場合は、少し注意が必要です。

まず固定する玉を決めます。透明な玉が1つだけなので、これを固定して考えます。

透明な玉を固定すると、残りの8個の玉（赤色6個、黒色2個）を並べる順列の問題となります。

これは、8個の玉を1列に並べるのと同じ考え方で、

$\frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通りです。

(3) 首輪を作る場合（じゅず順列）

円順列の場合に加えて、裏返すことができる場合を考えます。円順列の数を2で割ればよいのですが、割り切れない場合があるので注意が必要です。

今回の場合は、円順列の数が28通りですので、

$\frac{28}{2}=14$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1列に並べる方法：252通り

(2) 円形に並べる方法：28通り

(3) 首輪を作る方法：14通り