1つのサイコロを投げて、奇数の目が出たら1点、偶数の目が出たらその目の数が点数となる。このサイコロを3回投げて、合計点が3の倍数になる確率を求める。

1. 問題の内容

1つのサイコロを投げて、奇数の目が出たら1点、偶数の目が出たらその目の数が点数となる。このサイコロを3回投げて、合計点が3の倍数になる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを1回投げて、点数が1になる確率と、2,4,6のいずれかの目が出る確率を求める。

- 奇数の目(1,3,5)が出る確率は $1/2$ なので、1点となる確率は $1/2$。

- 偶数の目(2,4,6)が出る確率は $1/2$。それぞれ2点, 4点, 6点となる確率は $1/6$。

次に、3回の合計点が3の倍数になる場合を考える。合計点が3の倍数になるには、3回の点数の合計が3, 6, 9, 12, 15, 18になる必要がある。

3回の点数の組み合わせを考える場合、1が何回出るか、2,4,6がそれぞれ何回出るかを考える。

全事象は $6^3 = 216$ 通りではなく、各回の点数の取り方が異なるため、直接計算は難しい。

そこで、各回に出る点数の期待値を考えてみる。1回の試行で得られる点数の期待値は

$1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{6} + \frac{4}{6} + \frac{6}{6} = \frac{3+2+4+6}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$

3回の試行で合計が3の倍数となる確率を求める。

3回投げて合計点が3の倍数になる確率を直接求めるのは複雑なので、余事象を考えるのは難しい。

考え方を変えて、各回の結果によって場合分けを行う。

1回目に点数$x_1$、2回目に点数$x_2$が出たとき、3回目に点数$x_3$が出て合計が3の倍数になる確率を考える。

$x_1 + x_2 + x_3 \equiv 0 \pmod 3$

$x_3 \equiv -(x_1 + x_2) \pmod 3$

$x_1, x_2$を固定したとき、$x_3$が取りうる値は3の倍数になるように決まる。

全事象は3回の試行で起こりうるすべてのパターンである。

1回の試行で取りうる値は1,2,4,6。

3回の試行で取りうる値の合計は最小で3、最大で18。

合計が3の倍数になる場合を数え上げる。

全事象の場合の数は $4 \times 4 \times 4 = 64$通りではない。なぜなら1が出る確率と2,4,6が出る確率は異なるからである。

3回投げる時の点数の総和が3の倍数となる確率を求める。

$P(3k) = P(x_1 + x_2 + x_3 = 3k), k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

具体的に値を代入して計算する。

1点の確率は $1/2$, 2,4,6点の確率は $1/6$

全事象は $6^3 = 216$ではないことに注意。

合計が3になるのは (1,1,1)の1通り。確率は $(1/2)^3 = 1/8$

合計が6になるのは (1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(2,2,2),(6),(2,4)など

面倒なので、全体の確率を求める別解を考える。

それぞれの和を3で割った余りを考える。

1は余り1, 2は余り2, 4は余り1, 6は余り0。

よって、余り1の確率は $1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3$、余り2の確率は $1/6$, 余り0の確率は $1/6$

3回の和が3の倍数になるには、3つの余りの和が3の倍数になれば良い。

(0,0,0), (1,1,1), (2,2,2), (0,1,2)

それぞれの確率を求めると

$(1/6)^3 + (2/3)^3 + (1/6)^3 + 6 \times (1/6)(2/3)(1/6) = 1/216 + 8/27 + 1/216 + 12/216 = (1+64+1+12)/216 = 78/216 = 13/36$

3. 最終的な答え

13/36

よって、11/12, 11/13ではない。

$13/36$