ある病気に対して投与する薬の効果の有無を調べたい。薬を投与し、効果有と判断される比率は $p$ であるとする。この病気を持った患者から無作為に $n$ 人を選び、薬を投与したとき、$i$ 番目の患者に薬の効果が認められれば $1$ とし、認められなければ $0$ とする確率変数を $X_i$ とする。標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ の平均、および分散を求めよ。

1. 問題の内容

ある病気に対して投与する薬の効果の有無を調べたい。薬を投与し、効果有と判断される比率は $p$ であるとする。この病気を持った患者から無作為に $n$ 人を選び、薬を投与したとき、$i$ 番目の患者に薬の効果が認められれば $1$ とし、認められなければ $0$ とする確率変数を $X_i$ とする。標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ の平均、および分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X_i$ はベルヌーイ分布に従う確率変数であることに注意する。$X_i$ は、$i$番目の患者に薬の効果がある場合 $1$、ない場合 $0$ をとるため、

$P(X_i = 1) = p$

$P(X_i = 0) = 1 - p$

となる。ベルヌーイ分布の平均と分散はそれぞれ $p$ と $p(1-p)$ である。したがって、

$E[X_i] = p$

$V[X_i] = p(1 - p)$

標本平均 $\bar{X}$ の平均は、

$E[\bar{X}] = E[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} p = \frac{1}{n} (np) = p$

となる。

次に、標本平均 $\bar{X}$ の分散を求める。$X_i$ は独立であると仮定すると、

$V[\bar{X}] = V[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V[X_i] = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} p(1 - p) = \frac{1}{n^2} (np(1 - p)) = \frac{p(1 - p)}{n}$

となる。

3. 最終的な答え

標本平均 $\bar{X}$ の平均は $p$ である。

$E[\bar{X}] = p$

標本平均 $\bar{X}$ の分散は $\frac{p(1-p)}{n}$ である。

$V[\bar{X}] = \frac{p(1 - p)}{n}$