ある病気に対する薬の効果を調べる実験において、$n$ 人の患者に薬を投与し、各患者に対する薬の効果が認められる確率を $p$ とします。 $i$ 番目の患者に薬の効果が認められれば $X_i = 1$, 認められなければ $X_i = 0$ とします。 標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ の平均と分散を求める問題です。

1. 問題の内容

ある病気に対する薬の効果を調べる実験において、$n$ 人の患者に薬を投与し、各患者に対する薬の効果が認められる確率を $p$ とします。 $i$ 番目の患者に薬の効果が認められれば $X_i = 1$, 認められなければ $X_i = 0$ とします。 標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ の平均と分散を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X_i$ はベルヌーイ分布に従う確率変数であることを確認します。 ベルヌーイ分布の平均と分散はそれぞれ $p$ と $p(1-p)$ です。

次に、標本平均 $\bar{X}$ の平均 $E[\bar{X}]$ を求めます。

$E[\bar{X}] = E\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} p = \frac{1}{n} (np) = p$

したがって、標本平均の平均は $p$ です。

次に、標本平均 $\bar{X}$ の分散 $Var[\bar{X}]$ を求めます。

$X_i$ は互いに独立であると仮定します。

$Var[\bar{X}] = Var\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \frac{1}{n^2}Var\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} Var[X_i] = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} p(1-p) = \frac{1}{n^2}(np(1-p)) = \frac{p(1-p)}{n}$

したがって、標本平均の分散は $\frac{p(1-p)}{n}$ です。

3. 最終的な答え

平均: $p$

分散: $\frac{p(1-p)}{n}$