確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \frac{2}{25}x$ ($0 \le x \le 5$) で与えられているとき、期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \frac{2}{25}x$ ($0 \le x \le 5$) で与えられているとき、期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、期待値 $E(X)$ を求めます。

期待値は、確率密度関数に $x$ を掛けたものを積分することで計算できます。

$$E(X) = \int_{0}^{5} x f(x) dx = \int_{0}^{5} x \left(\frac{2}{25}x\right) dx = \int_{0}^{5} \frac{2}{25}x^2 dx$$

$$E(X) = \frac{2}{25} \int_{0}^{5} x^2 dx = \frac{2}{25} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{5} = \frac{2}{25} \left(\frac{5^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{2}{25} \cdot \frac{125}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3}$$

次に、$E(X^2)$ を求めます。

$$E(X^2) = \int_{0}^{5} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{5} x^2 \left(\frac{2}{25}x\right) dx = \int_{0}^{5} \frac{2}{25}x^3 dx$$

$$E(X^2) = \frac{2}{25} \int_{0}^{5} x^3 dx = \frac{2}{25} \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{5} = \frac{2}{25} \left(\frac{5^4}{4} - \frac{0^4}{4}\right) = \frac{2}{25} \cdot \frac{625}{4} = \frac{2 \cdot 25}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$$

最後に、分散 $V(X)$ を求めます。

分散は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。

$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{25}{2} - \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{25}{2} - \frac{100}{9} = \frac{25 \cdot 9 - 100 \cdot 2}{18} = \frac{225 - 200}{18} = \frac{25}{18}$$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{10}{3}$

$V(X) = \frac{25}{18}$