1から6までの整数が書かれた6枚のカードから3枚を無作為に取り出す。取り出した3つの整数のうち最大のものをXとするとき、Xの期待値を求める。選択肢は以下の通り。 1. $\frac{11}{2}$

1. 問題の内容

1から6までの整数が書かれた6枚のカードから3枚を無作為に取り出す。取り出した3つの整数のうち最大のものをXとするとき、Xの期待値を求める。選択肢は以下の通り。

1. $\frac{11}{2}$

2. $\frac{16}{3}$

3. $\frac{21}{4}$

4. $\frac{26}{5}$

5. $\frac{31}{6}$

2. 解き方の手順

Xがとりうる値は3, 4, 5, 6である。それぞれの値をとる確率を計算する。

まず、6枚のカードから3枚を取り出す場合の数は ${}_6 \mathrm{C}_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りである。

(1) X=3の場合

取り出す3枚のカードが1, 2, 3である必要がある。この場合の数は ${}_2 \mathrm{C}_2 = 1$ 通り。

したがって、$P(X=3) = \frac{1}{20}$

(2) X=4の場合

取り出す3枚のカードのうち1枚が4で、残りの2枚が1, 2, 3のいずれかである必要がある。この場合の数は ${}_3 \mathrm{C}_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

したがって、$P(X=4) = \frac{3}{20}$

(3) X=5の場合

取り出す3枚のカードのうち1枚が5で、残りの2枚が1, 2, 3, 4のいずれかである必要がある。この場合の数は ${}_4 \mathrm{C}_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

したがって、$P(X=5) = \frac{6}{20}$

(4) X=6の場合

取り出す3枚のカードのうち1枚が6で、残りの2枚が1, 2, 3, 4, 5のいずれかである必要がある。この場合の数は ${}_5 \mathrm{C}_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

したがって、$P(X=6) = \frac{10}{20}$

Xの期待値は

$E(X) = 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4) + 5 \times P(X=5) + 6 \times P(X=6)$

$E(X) = 3 \times \frac{1}{20} + 4 \times \frac{3}{20} + 5 \times \frac{6}{20} + 6 \times \frac{10}{20}$

$E(X) = \frac{3 + 12 + 30 + 60}{20} = \frac{105}{20} = \frac{21}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{21}{4}$