直線 $x+y+1=0$ を $l$ とするとき、$l$ に関して点 $P(3,2)$ と対称な点 $Q$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $x+y+1=0$ を $l$ とするとき、$l$ に関して点 $P(3,2)$ と対称な点 $Q$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $Q$ の座標を $(a, b)$ とします。

点 $P$ と点 $Q$ が直線 $l$ に関して対称であることから、以下の2つの条件が成り立ちます。

* 条件1：線分 $PQ$ の中点 $M$ が直線 $l$ 上にある。

* 条件2：直線 $PQ$ と直線 $l$ が垂直に交わる。

まず、線分 $PQ$ の中点 $M$ の座標は、$\left(\frac{3+a}{2}, \frac{2+b}{2}\right)$ です。

この中点 $M$ が直線 $l$ 上にあるので、座標を直線 $l$ の式に代入すると、

$\frac{3+a}{2} + \frac{2+b}{2} + 1 = 0$

$3+a+2+b+2=0$

$a+b+7=0$

$a+b=-7$ (1)

次に、直線 $PQ$ の傾きは $\frac{b-2}{a-3}$ です。

また、直線 $l$ の式 $x+y+1=0$ を変形すると $y=-x-1$ となり、傾きは $-1$ です。

直線 $PQ$ と直線 $l$ が垂直に交わるので、それぞれの傾きの積が $-1$ となります。

$\frac{b-2}{a-3} \times (-1) = -1$

$\frac{b-2}{a-3} = 1$

$b-2 = a-3$

$b=a-1$ (2)

(1)と(2)を連立方程式として解きます。

(1)に(2)を代入すると、

$a + (a-1) = -7$

$2a - 1 = -7$

$2a = -6$

$a = -3$

$a=-3$ を (2) に代入すると、

$b = -3 - 1$

$b = -4$

したがって、点 $Q$ の座標は $(-3, -4)$ です。

3. 最終的な答え

$(-3, -4)$