点Pが円 $x^2 + (y-1)^2 = 9$ の周上を動くとき、点A(6, 0)と点Pを結ぶ線分APを2:1に外分する点Qの軌跡を求め、さらに線分AQの長さの最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

点Pが円 $x^2 + (y-1)^2 = 9$ の周上を動くとき、点A(6, 0)と点Pを結ぶ線分APを2:1に外分する点Qの軌跡を求め、さらに線分AQの長さの最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 点Pの座標を$(s, t)$、点Qの座標を$(x, y)$とおきます。

点Pは円 $x^2 + (y-1)^2 = 9$ 上の点なので、$s^2 + (t-1)^2 = 9$ が成り立ちます。

* 点Qは線分APを2:1に外分するので、点A, P, Qの位置ベクトルについて、$\overrightarrow{AQ} = 2\overrightarrow{AP}$が成り立ちます。

これを成分で表すと、$(x - 6, y) = 2(s - 6, t - 0)$ となります。

したがって、$x - 6 = 2(s - 6)$ と $y = 2t$ が成り立ちます。

これらの式から、$s$ と $t$ を $x$ と $y$ で表すと、

$s = \frac{x + 6}{2}$

$t = \frac{y}{2}$

となります。

* $s$ と $t$ の式を、$s^2 + (t-1)^2 = 9$ に代入すると、

$(\frac{x + 6}{2})^2 + (\frac{y}{2} - 1)^2 = 9$

$\frac{(x + 6)^2}{4} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 9$

$(x + 6)^2 + (y - 2)^2 = 36$

これが点Qの軌跡の方程式です。中心が(-6, 2)で半径が6の円となります。

* 線分AQの長さの最大値を求めます。

点A(6, 0)と円 $(x + 6)^2 + (y - 2)^2 = 36$ の中心 (-6, 2) の距離は $\sqrt{(6 - (-6))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$です。

円の半径は6なので、線分AQの長さの最大値は、中心間の距離 + 半径 = $2\sqrt{37} + 6$ となります。

3. 最終的な答え

点Qの軌跡の方程式は $(x + 6)^2 + (y - 2)^2 = 36$ であり、線分AQの長さの最大値は $6 + 2\sqrt{37}$ です。