ある放物線を、$x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動すると、放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動すると、放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、移動後の放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ を $x$ 軸に関して対称移動する前の状態に戻す。$x$ 軸に関する対称移動は $y$ を $-y$ に置き換えることで実現できるため、

$$-y = x^2 - 6x + 7$$

$$y = -x^2 + 6x - 7$$

次に、$x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動する前の状態に戻す。これは、$x$ を $x + 1$ に、$y$ を $y + 3$ に置き換えることで実現できるため、

$$y + 3 = -(x + 1)^2 + 6(x + 1) - 7$$

$$y = -(x^2 + 2x + 1) + 6x + 6 - 7 - 3$$

$$y = -x^2 - 2x - 1 + 6x + 6 - 10$$

$$y = -x^2 + 4x - 5$$

したがって、もとの放物線の方程式は $y = -x^2 + 4x - 5$ となる。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 5$