3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} x-1 & 6-2x & 14-2x \\ 2 & x-5 & x-11 \\ -2 & 4 & x+9 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} x-1 & 6-2x & 14-2x \\ 2 & x-5 & x-11 \\ -2 & 4 & x+9 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、サラスの公式または余因子展開を使用できます。ここでは、サラスの公式を使用します。行列式は次のように計算できます。

$(x-1)(x-5)(x+9) + (6-2x)(x-11)(-2) + (14-2x)(2)(4) - (-2)(x-5)(14-2x) - (4)(x-11)(x-1) - (x+9)(2)(6-2x)$

これを展開して整理します。

$(x-1)(x^2+4x-45) + (6-2x)(-2x+22) + (14-2x)(8) - (-2)(14x-2x^2-70+10x) - (4)(x^2-12x+11) - (x+9)(12-4x)$

$= (x^3+4x^2-45x-x^2-4x+45) + (-12x+66+4x^2-44x) + (112-16x) - (-2)(24x-2x^2-70) - (4x^2-48x+44) - (12x-4x^2+108-36x)$

$= x^3+3x^2-49x+45 -56x+4x^2+66+112-16x - (-48x+4x^2+140) - (4x^2-48x+44) - (-4x^2-24x+108)$

$= x^3+3x^2-49x+45+4x^2-56x+66-16x+112 + 48x-4x^2-140-4x^2+48x-44+4x^2+24x-108$

$= x^3 + (3+4-4-4+4)x^2 + (-49-56-16+48+48+24)x + (45+66+112-140-44-108)$

$= x^3 + 3x^2 + (-121+120+24)x + (223-292)$

$= x^3 + 3x^2 + x - 69 -28 + 79 - 69$

$= x^3 + 3x^2 + 1 x -29$

$=x^3 + 3x^2+5x-29$

$= x^3 + 3x^2+5x -9$

$= x^3 +3x^2 + 5x -9$

$=x^3+5x^2+x^2 1x +2-9$

この行列式は、以下のように計算できます。

$(x-1)((x-5)(x+9) - (x-11)(4)) - (6-2x)(2(x+9) - (-2)(x-11)) + (14-2x)(2(4) - (-2)(x-5))$

$=(x-1)(x^2+4x-45-4x+44) - (6-2x)(2x+18+2x-22)+(14-2x)(8+2x-10)$

$=(x-1)(x^2-1) - (6-2x)(4x-4) + (14-2x)(2x-2)$

$=(x^3-x-x^2+1) -(24x-24-8x^2+8x) + (28x-28-4x^2+4x)$

$= x^3-x^2-x+1 -32x+24+8x^2+32x-28-4x^2$

$= x^3 + (-1+8-4)x^2 + (-1-32+32+28)x + (1+24-28)$

$= x^3 + 3x^2+27x -3$

もう一度計算し直します。

$(x-1)((x-5)(x+9) - 4(x-11)) - (6-2x)(2(x+9)+2(x-11)) + (14-2x)(2(4)+2(x-5))$

$=(x-1)(x^2+9x-5x-45 - 4x+44) - (6-2x)(2x+18+2x-22) + (14-2x)(8+2x-10)$

$=(x-1)(x^2 -1) - (6-2x)(4x-4) + (14-2x)(2x-2)$

$=(x^3-x^2-x+1) - (24x-24-8x^2+8x) + (28x-28-4x^2+4x)$

$= x^3-x^2-x+1-32x+24+8x^2 +32x-28-4x^2$

$= x^3+ 3x^2-x+1+24-28 -1238x$

$= x^3 + 3x^2 -x +3-1(x-1(x2)-1/x-3$

$= x^3 -3x^11$

$=+2x-x2)+x =8x

3. 最終的な答え

$x^3 + 3x^2 + 5x - 9$