与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式 $\det(A)$ を求める。ヒントとして、標準基底ベクトルを $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$ とすると、$A = (\vec{e_3}, \vec{e_1}, \vec{e_2})$ であると書かれている。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式 $\det(A)$ を求める。ヒントとして、標準基底ベクトルを $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$ とすると、$A = (\vec{e_3}, \vec{e_1}, \vec{e_2})$ であると書かれている。

2. 解き方の手順

行列式は、行列の列ベクトルを入れ替えることで符号が変わるという性質を利用する。

まず、$A$ の列ベクトルを並び替えて単位行列にすることを考える。

$A = (\vec{e_3}, \vec{e_2}, \vec{e_1})$ ではないことに注意（誤記？）。問題文に書かれているように $A = (\vec{e_3}, \vec{e_1}, \vec{e_2})$ である。

標準基底 ($\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$) から、$A$の列ベクトル ($\vec{e_3}, \vec{e_1}, \vec{e_2}$)を得るためには、$\vec{e_1}$を2番目に、$\vec{e_2}$を3番目に、$\vec{e_3}$を1番目に置く必要があるので、2回の列の入れ替えを行う。

1. $\vec{e_3}$と$\vec{e_1}$を入れ替える: $(\vec{e_1}, \vec{e_3}, \vec{e_2})$。このとき、行列式は $-1$ 倍になる。

2. $\vec{e_3}$と$\vec{e_2}$を入れ替える: $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$。このとき、行列式はさらに $-1$ 倍になる。

したがって、行列式 $\det(A)$ は、単位行列の行列式である1に $(-1) \times (-1) = 1$ を掛ける必要がある。しかし、問題文のヒントは、$\vec{e_1}$を2番目に、$\vec{e_2}$を3番目に、$\vec{e_3}$を1番目に置くという操作を示す。この場合、$A$は$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$であるから、行列式の定義に従って計算できる。

$\det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 + (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -1$

別の方法として、$A$ から標準基底の順序を得るために必要な置換の符号を考える。$A = (\vec{e_3}, \vec{e_1}, \vec{e_2})$ から $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$ へは、(3 1 2) という置換が行われている。(3 1 2) は互換 (3 2)(3 1) に分解できるので、偶数回の互換で表される。互換の回数が奇数回のとき、符号は $-1$ になる。

3. 最終的な答え

$\det(A) = -1$