与えられた分数式を部分分数に分解する問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $\frac{x}{(2x-1)(x+2)}$ (2) $\frac{-6x+7}{(x-2)(x^2+1)}$

1. 問題の内容

与えられた分数式を部分分数に分解する問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $\frac{x}{(2x-1)(x+2)}$

(2) $\frac{-6x+7}{(x-2)(x^2+1)}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x}{(2x-1)(x+2)}$ の場合：

部分分数分解の形を仮定します。

$$\frac{x}{(2x-1)(x+2)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x+2}$$

両辺に$(2x-1)(x+2)$を掛けて、

$$x = A(x+2) + B(2x-1)$$

$x$についての恒等式なので、係数比較または数値を代入して$A$と$B$を求めます。

$x = -2$を代入すると、

$$-2 = A(-2+2) + B(2(-2)-1)$$

$$-2 = -5B$$

$$B = \frac{2}{5}$$

$x = \frac{1}{2}$を代入すると、

$$\frac{1}{2} = A(\frac{1}{2}+2) + B(2(\frac{1}{2})-1)$$

$$\frac{1}{2} = \frac{5}{2}A$$

$$A = \frac{1}{5}$$

よって、

$$\frac{x}{(2x-1)(x+2)} = \frac{\frac{1}{5}}{2x-1} + \frac{\frac{2}{5}}{x+2} = \frac{1}{5(2x-1)} + \frac{2}{5(x+2)}$$

(2) $\frac{-6x+7}{(x-2)(x^2+1)}$ の場合：

部分分数分解の形を仮定します。$x^2+1$ は実数の範囲では因数分解できないので、分子は$Cx+D$という形になります。

$$\frac{-6x+7}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$$

両辺に$(x-2)(x^2+1)$を掛けて、

$$-6x+7 = A(x^2+1) + (Cx+D)(x-2)$$

$$-6x+7 = Ax^2 + A + Cx^2 -2Cx + Dx - 2D$$

$$-6x+7 = (A+C)x^2 + (-2C+D)x + (A-2D)$$

$x$についての恒等式なので、係数を比較します。

$$A+C = 0$$

$$-2C+D = -6$$

$$A-2D = 7$$

$A = -C$ より、

$$2A+D = -6$$

$$A-2D = 7$$

上の式を2倍して下の式に足すと、

$$4A+2D + A -2D = -12+7$$

$$5A = -5$$

$$A = -1$$

$A=-1$を$A-2D=7$に代入して、

$$-1-2D = 7$$

$$-2D = 8$$

$$D = -4$$

$A=-1$を$A+C=0$に代入して、

$$-1+C = 0$$

$$C = 1$$

よって、

$$\frac{-6x+7}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{-1}{x-2} + \frac{x-4}{x^2+1} = -\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x^2+1} - \frac{4}{x^2+1}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x}{(2x-1)(x+2)} = \frac{1}{5(2x-1)} + \frac{2}{5(x+2)}$

(2) $\frac{-6x+7}{(x-2)(x^2+1)} = -\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x^2+1} - \frac{4}{x^2+1}$