与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} x-1 & 6-2x & 14-2x \\ 2 & x-5 & x-11 \\ -2 & 4 & x+9 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} x-1 & 6-2x & 14-2x \\ 2 & x-5 & x-11 \\ -2 & 4 & x+9 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、サラスの公式（たすき掛け）を使用します。

行列式は次のように計算できます。

$(x-1)(x-5)(x+9) + (6-2x)(x-11)(-2) + (14-2x)(2)(4) - (-2)(x-5)(14-2x) - (4)(x-11)(x-1) - (x+9)(2)(6-2x)$

これを展開して整理します。

まず、各項を展開します。

1. $(x-1)(x-5)(x+9) = (x^2 -6x + 5)(x+9) = x^3 - 6x^2 + 5x + 9x^2 - 54x + 45 = x^3 + 3x^2 -49x + 45$

2. $(6-2x)(x-11)(-2) = (6-2x)(-2x+22) = -12x+66+4x^2-44x = 4x^2-56x+66$

3. $(14-2x)(2)(4) = (14-2x)(8) = 112 - 16x$

4. $(-2)(x-5)(14-2x) = (-2)(14x-2x^2-70+10x) = (-2)(-2x^2+24x-70) = 4x^2 -48x + 140$

5. $(4)(x-11)(x-1) = 4(x^2-12x+11) = 4x^2 - 48x + 44$

6. $(x+9)(2)(6-2x) = (x+9)(12-4x) = 12x - 4x^2 + 108 - 36x = -4x^2 - 24x + 108$

元の式に代入すると、

$(x^3 + 3x^2 -49x + 45) + (4x^2-56x+66) + (112 - 16x) - (4x^2 -48x + 140) - (4x^2 - 48x + 44) - (-4x^2 - 24x + 108)$

$= x^3 + 3x^2 - 49x + 45 + 4x^2 - 56x + 66 + 112 - 16x - 4x^2 + 48x - 140 - 4x^2 + 48x - 44 + 4x^2 + 24x - 108$

$= x^3 + (3+4-4-4+4)x^2 + (-49-56-16+48+48+24)x + (45+66+112-140-44-108)$

$= x^3 + 3x^2 -x + 19$

係数を計算します。

$x^2$の係数：$3 + 4 - 4 - 4 + 4 = 3$

$x$の係数：$-49 - 56 - 16 + 48 + 48 + 24 = -105 - 16 + 96 + 24 = -121 + 120 = -1$

定数項：$45 + 66 + 112 - 140 - 44 - 108 = 223 - 292 = -69$

最終的な計算：

$x^3 + 3x^2 - x - 69$

しかし、問題は行列式を計算することであるため、計算ミスがないか確認します。もう一度確認すると、簡略化して

$(x-1)((x-5)(x+9)-4(x-11))-(6-2x)(2(x+9)+2(x-11))+(14-2x)(8+2(x-5)) = (x-1)(x^2+4x-45-4x+44)-(6-2x)(2x+18+2x-22)+(14-2x)(8+2x-10)=(x-1)(x^2-1)-(6-2x)(4x-4)+(14-2x)(2x-2)=(x^3-x-x^2+1)-(24x-24-8x^2+8x)+(28x-28-4x^2+4x)=x^3-x^2-x+1-32x+24+8x^2-4x^2+32x-28=x^3+3x^2-x-3$

3. 最終的な答え

$x^3+3x^2-x-3$