以下の3つの値を求めます。 (1) $2^{\log_2 3}$ (2) $3^{-2\log_3 2}$ (3) $8^{3\log_2 \sqrt{5}}$

1. 問題の内容

以下の3つの値を求めます。

(1) $2^{\log_2 3}$

(2) $3^{-2\log_3 2}$

(3) $8^{3\log_2 \sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $2^{\log_2 3}$ の場合

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を利用します。

よって、$2^{\log_2 3} = 3$

(2) $3^{-2\log_3 2}$ の場合

まず、指数の部分を整理します。$-2\log_3 2 = \log_3 2^{-2} = \log_3 (1/4)$

よって、$3^{-2\log_3 2} = 3^{\log_3 (1/4)}$

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を利用すると、$3^{\log_3 (1/4)} = \frac{1}{4}$

(3) $8^{3\log_2 \sqrt{5}}$ の場合

まず、8を2のべき乗で表すと、$8 = 2^3$です。

よって、$8^{3\log_2 \sqrt{5}} = (2^3)^{3\log_2 \sqrt{5}} = 2^{9\log_2 \sqrt{5}}$

次に、指数の部分を整理します。

$9\log_2 \sqrt{5} = \log_2 (\sqrt{5})^9 = \log_2 (5^{9/2}) = \log_2 (5^4\sqrt{5}) = \log_2 (625\sqrt{5})$

よって、$2^{9\log_2 \sqrt{5}} = 2^{\log_2 (\sqrt{5})^9} = 2^{\log_2(5^{9/2})} = 5^{9/2} = (5^9)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5^9}=\sqrt{5^8 \cdot 5}=5^4\sqrt{5}=625\sqrt{5}$

したがって、$8^{3\log_2 \sqrt{5}} = 2^{9\log_2 \sqrt{5}} = (2^{\log_2 \sqrt{5}})^9 = (\sqrt{5})^9 = 5^{9/2}=5^4\sqrt{5} = 625\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $625\sqrt{5}$