平行四辺形ABCDにおいて、AB=8cm, AD=10cm, ∠ABC=60°であり、辺AB上にAE=6cmとなる点Eをとる。線分ACと線分EDの交点をFとするとき、以下の問いに答える。 (i) AF:FCの比を求めよ。 (ii) 平行四辺形ABCDの面積を求めよ。 (iii) △AEFの面積を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AB=8cm, AD=10cm, ∠ABC=60°であり、辺AB上にAE=6cmとなる点Eをとる。線分ACと線分EDの交点をFとするとき、以下の問いに答える。

(i) AF:FCの比を求めよ。

(ii) 平行四辺形ABCDの面積を求めよ。

(iii) △AEFの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) AF:FCの比を求める。

まず、△AEFと△CDFの相似に着目する。

平行四辺形なので、AB//CDより、∠EAF=∠DCF、∠AEF=∠CDFである。よって、△AEF∽△CDFとなる。

相似比はAE:CDで与えられる。CD=AB=8cmなので、AE:CD=6:8=3:4となる。

したがって、AF:FC=AE:CD=3:4である。

(ii) 平行四辺形ABCDの面積を求める。

平行四辺形の面積は底辺×高さで求められる。

ABを底辺とすると、高さはADsin∠BADとなる。

∠BAD=180°-∠ABC=180°-60°=120°である。

sin120°=sin(180°-60°)=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$である。

したがって、高さは$10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$cmとなる。

平行四辺形の面積は$8 \times 5\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$cm$^2$となる。

(iii) △AEFの面積を求める。

まず、△ABCの面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$

$\frac{AF}{AC} = \frac{AF}{AF+FC} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$

$\triangle ABF = \frac{AF}{AC} \triangle ABC = \frac{3}{7} (20 \sqrt{3}) = \frac{60\sqrt{3}}{7}$

$\frac{AE}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$\triangle AEF = \frac{AE}{AB} \triangle ABF = \frac{3}{4} \cdot \frac{60\sqrt{3}}{7} = \frac{45\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

(i) AF:FC = 3:4

(ii) 平行四辺形ABCDの面積: $40\sqrt{3}$ cm$^2$

(iii) △AEFの面積: $\frac{45\sqrt{3}}{7}$ cm$^2$